当青训营遇上码上掘金

1、题目

现有 n 个宽度为 1 的柱子，给出 n 个非负整数依次表示柱子的高度，排列后如下图所示，此时均匀从上空向下撒青豆，计算按此排列的柱子能接住多少青豆。（不考虑边角堆积）

以下为上图例子的解析： 
输入：height = [5,0,2,1,4,0,1,0,3] 
输出：17 
解析：上面是由数组 [5,0,2,1,4,0,1,0,3] 表示的柱子高度，在这种情况下，可以接 17 个单位的青豆。

2、单调栈解题思路

单调栈的经典题目，接雨水的改编版。 首先，接雨水需要三个柱子，即形成凹槽，所以左右柱子肯定大于中间的柱子。要找到这样的组合，就想到了单调栈。

• 单调栈：从栈尾到栈头从大到小，
• 关键点是如果当前要添加的元素大于栈头元素，栈头元素就是凹槽底部的柱子，栈头第二个元素就是凹槽左边的柱子，而添加的元素就是凹槽右边的柱子。
• 第二个关键点是如何计算雨水面积，设从左向右三个柱子高度分别为left,mid,right, 则高度h = min(left, right) - mid, 宽度w = right_index - left_index - 1;
• 因为可能会遇到5 4 3 2 5 这种凹槽，所以需要循环判断，不断填充短的凹槽，如上，先填充3 2 5 的凹槽组合，然后是4 3 5， 最后是5 4 5的组合凹槽。

3、c++ 代码

#include<iostream>
#include <vector>
#include <stack>
using namespace std;

//单调栈思想
//看做三个柱子构成的凹槽，单调栈从尾部到栈头，从大到小
int fun(vector<int> height){
    stack<int> st;
    if(height.size() <= 2) return 0;
    //st存放索引
    st.push(0);
    int ans = 0;
    for(int i = 1; i < height.size(); i++){
      int num = height[i];
      while(!st.empty() && num > height[st.top()]){
          //num 为右边界，top()为中间，第二个栈顶元素为左边界
          //mid 为索引位置
          int mid = st.top();
          st.pop();
          if(!st.empty()){
              int h = min(num, height[st.top()]) - height[mid];
              int w = i - st.top() - 1;
              ans += (h * w);
          }
         
      }
       st.push(i);
    }
    return ans;
}
int main() {
    vector<int> height = {5,0,2,1,4,0,1,0,3};
    cout<<fun(height)<<endl;
  return 0;
}

链接： code.juejin.cn/api/raw/718…

4、复杂度分析

空间 O(n) ; 时间 O(n) , n 为输入数组规模

5、其他方案补充

• 双指针思想： 核心思想即对于每一列柱子，找出其两侧最高的柱子，就可以得到它能存储的雨水量。注意第一个柱子和最后一个柱子不能接水，不计算。时间复杂度O(n^2)

• 进一步优化: 为了得到两边的最高高度，使用了双指针来遍历，每到一个柱子都向两边遍历一遍，这其实是有重复计算的。我们把每一个位置的左边最高高度记录在一个数组上（maxLeft），右边最高高度记录在一个数组上（maxRight）。这样就避免了重复计算，这就用到了动态规划。

• 动态规划：当前位置，左边的最高高度是前一个位置的左边最高高度和本高度的最大值。

  即从左向右遍历：maxLeft[i] = max(height[i], maxLeft[i - 1]);

  从右向左遍历：maxRight[i] = max(height[i], maxRight[i + 1]);

  时间和空间复杂度O(n)。