HJ37 统计每个月兔子的总数

Day07 2023/01/14

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难度：简单

题目

有一种兔子，从出生后第3个月起每个月都生一只兔子，小兔子长到第三个月后每个月又生一只兔子。例子：假设一只兔子第3个月出生，那么它第5个月开始会每个月生一只兔子。一月的时候有一只兔子，假如兔子都不死，问第n个月的兔子总数为多少？
数据范围：1 ≤ n ≤ 31 

输入描述：

输入一个int型整数表示第n个月

输出描述：

输出对应的兔子总数

示例

输入：5
输出：5

思路一

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月份	兔子数
第1个月	1只兔子
第2个月	1只兔子
第3个月	2只兔子
第4个月	3只兔子
第5个月	5只兔子

可以发现除了前两个月有些特殊外，剩下的月份的兔子数都是它前两个月兔子数之和。因此可得递归公式 $f(n)=f(n−1)+f(n−2)$，其实就是斐波那契数列，然后利用此公式逐层递归即可。 如图所示：

思路二

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• 使用 迭代 的方式，分别设置三种兔子的数量，三个月及其以上的（可生育 k3），两个月的和一个月的（不可生育 k2 和 k1），每过一个月就更新一次，最后返回三种兔子数量之和。

• 其中更新细节为，每过一个月 k3 = k3 + k2; k2 = k1; k1 =k3;

关键点

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• 迭代的方式中，注意前两个月比较特殊，更新方式单独处理。

算法实现

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c++代码实现1-递归

#include <iostream>

using namespace std;

// 计算n月时的兔子数
int CalNum (int  n) { //n为月数
    if(n == 1 || n == 2) return 1; //当n为1或者2的时候跳出递归
    return CalNum(n - 1) +CalNum(n-2); //本月的兔子数等于前两个月兔子数相加（本质是斐波那契数列）
}

//方法一：递归（斐波那契）
int main () {
    int n = 0;
    cout << "请输入月份: ";
    cin >> n;
    cout << "第" << n << "个月兔子数为：" << CalNum(n) << endl;
    return 0;
}

• 时间复杂度 $O(2^n)$ --- 遍历整个二叉树（节点数）
• 空间复杂度 $O(n)$ --- 递归栈的深度为 n

c++代码实现2-迭代

// 计算n月时的兔子数
int CalNum (int  n) { //n为月数
    int k1 = 0, k2 = 0, k3 = 0; //k1为年龄一个月的兔子，k2为年龄两个月的兔子， k3为年龄三个月的兔子。
    //前两个月比较特殊,先初始化到第二个月的状态
    k1 = 0; 
    k2 = 1; 
    k3 = 0;
    for (int i = 3; i <=n; i++) {
        k3 += k2;
        k2 = k1;
        k1 = k3;
    }
    return k1 + k2 + k3;
}

// 方法二：迭代
int main () {
    int n = 0;
    cout << "请输入月份: ";
    cin >> n;
    cout << "第" << n << "个月兔子数为：" << CalNum(n) << endl;
    return 0;
}

• 时间复杂度 $O(n)$ --- 循环n-2次，n为月份数
• 空间复杂度 $O(1)$ ---常数级空间

总结

• 了解递归，迭代这些基本的算法思想，并学会处理一些特殊的情况。