本章研究球放入箱子的过程，一个是从随机视角切入的，另一个是从计数视角切入的。

随机视角

模型概述

$m$ 个球扔进 $n$ 个盒子，每个球进入等可能独立地扔进任何一个盒子。我们关心如下问题：

1 有两个球进入同一盒子的概率
2 最大负荷（一个盒子最多几个球）
3 一个箱子里有r个球的分布列

1 两个球进入同一盒子的概率

这就是著名的生日悖论。一个屋子里30人，至少有两个人生日在同一天的概率。在这个问题中， $m$ 就是30， $n$ 是365。计算过程就是把所有情况数出来。总情况是 $365^{30}$ 。有两个在同一天的数量不好算，考虑其反面，所有人都不在一天，这个数量是 $C_{365}^{30} 30!$ 这样概率为 $\frac{C_{365}^{30} 30!}{365^{30}} = \frac{C_n^m m!}{n^m}$

另外一种计算方法是分步决策。 $1\times (1 - \frac{1}{365}) \times ... \times (1 - \frac{30 - 1}{365})$ 即 $(1 - \frac{1}{n})(1 - \frac{2}{n})...(1 - \frac{m - 1}{n})$

不难验证这两种方法计算的结果是一样的。

对于其具体数值，一种近似计算的方法是,当 $\frac{1}{n}$ 特别小的时候， $1 - \frac{i}{n}\approx e^{-i/n}$ 。这样算完可以发现这个值没有想象的小，大约是30%，这就是他悖论的地方。

2 最大负荷的概率分析

对于一个箱子，他得到 $M$ 个球的概率至多为 $C_{m}^M(\frac{1}{n})^M$ 。为啥是至多呢？因为这种计算可能有重复，因为在我关心我选中的 $M$ 个之外的球我没管。

$C_{m}^M(\frac{1}{n})^M = \frac{m!}{M!(m-M)!}\frac{1}{n^M} \le \frac{1}{M!} \le (\frac{e}{M})^M$

最后一个不等关系是斯特林公式的小运用。

至此，我们得到了一个最大负荷的上界。不过这是某一个箱子的，如果是所有箱子，还要再进行一次放缩，设 $m_i$ 为第 $i$ 个箱子超过 $M$ 个球的概率。那么 $Pr[m_1 + m_2 + ... + m_n] \le \sum Pr[m_i] = nPr[m_1]$ 。所以总的概率上界 $n(\frac{e}{M})^M$

可以看到随着 $M$ 先增大后减小，我们一般关心一直收敛的情况，说明超过多少最大负荷，概率上就基本不可能了。这个界是 $3\ln n / \ln \ln n$ 。带入到 $M$ ，可以发现

$n(\frac{e}{M})^M \le n(\frac{e \ln \ln n}{3\ln n})^{\frac{3 \ln n}{\ln\ln n}} \le \frac{1}{n}$

两类拓展

1 降低随机程度。每次随机选择 $d$ 个箱子，然后把球放置在 $d$ 个箱子中负载最小的箱子。此时可以有效降低负载。事实上，有1- $O(1/n)$ 的概率最大负载至多为 $\ln \ln n / \ln d + \Theta(1)$
2 允许移动。在1的基础上进一步拓展，现在强制每个盒子至多有一个，那么如果发现选择的 $d$ 个全都满了，就随机选一个移动到其他的位置，如果其他位置也有球就继续移动。这是布谷鸟哈希的思想。

3 某个盒子里球数量的分布列 Poisson

很明显，一个箱子有 $r$ 个球的概率为

$p_r = C_m^r (\frac{1}{n})^r(1 - \frac{1}{n})^{m-r} \approx \frac{e^{-m/n}(m/n)^r}{r!}$

上面的极限过程若存在需要假设 $m>>r$ 且 $n$ 充分大

$\mu = m / n$ 就是poisson分布。

性质 $P(\mu_1) + P(\mu_2) = P(\mu_1 + \mu_2)$
矩函数 $M_X(t)=e^{\mu(e^t-1)}$
均值和方差：利用矩函数很容易求。 $E[X]=\mu = Var[X]=\mu$

poisson是一种近似，而其精确情况就是球盒模型，也就是那一串阶乘没有近似的情况，而他们的差别，其实是差在一个条件上。设 $Y_i$ 表示用poisson分布近似表示第 $i$ 个盒子的球的数量的随机变量，而 $X_i$ 表示真实情况的随机变量

$\frac{Pr[Y_1=k_1, Y_2=k_2, ..., Y_n=k_n]}{Pr[\sum Y_i = k]} = \frac{k!}{k_1!k_2!...k_n!n^k}=Pr[X_1=k_1, ...,X_n=k_n]$ 。这里主要是因为poisson是把每个盒子看作独立的了，而球箱模型并不独立，因为球的总数是一定的，所以把这个条件考虑进去之后两者才相等。

从这个关系也可以看出来，poisson分布除以一个概率才和球箱模型概率一样，说明poisson这个近似是偏小的。更一般的，可以有如下结论

$E[f(X_1, ..., X_n)] \le e\sqrt{m}E[f(Y_1, ..., Y_n)]$

证明： $E[f(Y_1, ..., Y_n)]=\sum_k E[f(Y_1, ..., Y_n)|\sum Y_i=k]Pr[\sum Y_i=k] \ge E[f(Y_1, ..., Y_n)|\sum Y_i=m]Pr[\sum Y_i=m] = E[f(X_1, ..., X_n)]Pr[\sum Y_i=m]$
对于后面的概率项， $Pr[\sum Y_i=m] = \frac{m^m e^{-m}}{m!} < e\sqrt{m}$

上面利用了 $n!\le e\sqrt{n}(\frac{n}{e})^n$

计数视角

计数视角同样研究 $n$ 个球放入 $m$ 个盒子，但是目的是把所有情况计算出来。一般按照盒子和小球是否相同、是否允许有盒子是空的，分成了8个情况。

2 球箱模型