当青训营遇上码上掘金

攒青豆

现有 n 个宽度为 1 的柱子，给出 n 个非负整数依次表示柱子的高度，排列后如下图所示，此时均匀从上空向下撒青豆，计算按此排列的柱子能接住多少青豆。（不考虑边角堆积）

以下为上图例子的解析：
输入：height = [5,0,2,1,4,0,1,0,3]
输出：17
解析：上面是由数组 [5,0,2,1,4,0,1,0,3] 表示的柱子高度，在这种情况下，可以接 17 个单位的青豆。

解法一 暴力解法

思路

通过观察规律，可以知道，每个柱子所能接到的青豆数取决于两个重要的因素，第一个是该柱子左侧高度最高的柱子，另外一个是该柱子右侧高度最高的柱子。两柱子之间高度较小的即为该柱子在接完青豆后所能达到的最大值。 因此按照该思路，我们可以写出以下代码

代码

public int getBeans(int[] arr){
    int res = 0;
    for (int i=0;i<arr.length;i++){
        int leftMax = 0;
        int rightMax = 0;
        for (int j = i; j >= 0; j--) {
            leftMax = Math.max(leftMax, arr[j]);
        }
        for (int j = i; j < arr.length; j++) {
            rightMax = Math.max(rightMax, arr[j]);
        }
        res+=Math.min(leftMax,rightMax)-arr[i];
    }
    return res;
}

算法分析

该代码首先遍历该数组，对于数组中的每一个元素，分别利用两个循环来寻找其左侧和右侧的最高柱子高度，记为leftMax和rightMax，然后取两者之中的最小值。按照之前的思路，

$柱子高度+青豆数=左右侧柱子中的最小值（包括自己）$

，因此可以得到

$青豆数=左右侧柱子中的最小值（包括自己）-柱子高度$

，所以该柱子所能接到的青豆数如上式所示，然后将每个柱子所能接到的青豆数加到res中，就可以得到所能接到的所有青豆数。

以第3列为例，该柱子高度为2，其左侧柱子最高为5，右侧柱子最高为4，因此其所能接到的青豆数为

$4-2=2$

，图解如下图所示

复杂度分析

对于时间复杂度来说，采用两层循环，每一层循环都遍历了整个数组，因此时间复杂度为$O(N^2)$

对于空间复杂度来说，只用到了两个临时变量，因此空间复杂度为$O(1)$

解法二 双指针解法

思路

由解法一可注意到，在遍历过程中有很多不必要的计算。我们在求解过程中，每次都需要找到的是该柱子左右两侧最高柱子中的最小柱子，而在从前往后遍历的过程中，我们可以很容易的知道左侧的最高柱子的高度（只需要一个变量来记录），因此，此时需要与右侧最高柱子的高度进行比较。

此时想一想，真的要和右侧最高柱子高度比较吗？

如果右侧有一个比左侧最高柱子更高的（但不一定是最高的），那么还有必要继续搜索下去吗？答案很明显，是不用的，原因是我们只需要两者之间更小的，而此时必然左侧的更小，因此直接可以得到该柱子所能接到的青豆数。

那么再想想，右侧柱子的遍历只能从该柱子到结尾吗？能不能从后往前遍历呢？

答案也很明显，是可以的。那么此时可以发现，左右两侧是不是几乎完全等效的？一个从前往后，一个从后往前，区别只有前后之差。之前提到，只需要找到比左侧柱子更高的右侧柱子，就可以确定当前柱子的青豆数，那么假设我们从后往前遍历，是不是只需要找到一个比右侧最高（从后往前遍历，同样可以使用一个遍历记录最高柱子）更高的左侧柱子（无需最高）？那么答案就出来了。我们只需要使用两个指针，一个从前往后遍历（即为左指针），一个从后往前遍历（即为右指针），这样，从前往后遍历记录了左指针指向的柱子的左侧最高柱子的值，从后往前遍历记录了右指针指向的柱子的右侧最高柱子的值。对于两指针来说，右指针右侧的柱子都是左指针右侧的柱子，因此只要左指针左侧最高柱子比右指针右侧最高柱子更低，就可以直接得到左指针指向柱子所能接到的青豆，右指针同理。左右指针交叉遍历，在相遇之前就可得到结果。

代码

public int getBeans(int[] arr){
    int res = 0;
    int left = 0, right = arr.length - 1;
    int leftMax = 0, rightMax = 0;
    while (left <= right) {
        leftMax = Math.max(leftMax, arr[left]);
        rightMax = Math.max(rightMax, arr[right]);

        if (leftMax > rightMax) {
            res += rightMax - arr[right];
            right--;
        } else {
            res += leftMax - arr[left];
            left++;
        }
    }
    return res;
}

算法分析

该代码使用双指针分别从数组的头部和尾部分别遍历，在遍历过程中，leftMax记录左指针左侧最高柱子，rightMax记录右指针右侧最高柱子。当左指针左侧最高柱子更高时，说明右指针指向的柱子的右侧最高柱子更低，也就能得到右指针所指向柱子所能接到的青豆数，左指针同理。

复杂度分析

对于时间复杂度来说，左右指针在相遇之后就停止了遍历，因此时间复杂度为$O(N)$

对于空间复杂度来说，只有到了几个指针变量和临时变量，因此空间复杂度为$O(1)$

代码片段

查看代码请点击下方Script

总结

本文记录了对攒青豆问题的解决方法，主要提出了两种思路，暴力解法虽然低效，但是易于理解；双指针方法高效，但要想到需要费点功夫。

文章到这就结束了，如有错误，还请指正~