当青训营遇上码上掘金

主题3：寻友之旅

小青要找小码去玩，他们的家在一条直线上，当前小青在地点 N ，小码在地点 K （0≤N , K≤100 000），并且小码在自己家原地不动等待小青。小青有两种交通方式可选：步行和公交。
步行：小青可以在一分钟内从任意节点 X 移动到节点 X-1 或 X+1
公交：小青可以在一分钟内从任意节点 X 移动到节点 2×X （公交不可以向后走）

请帮助小青通知小码，小青最快到达时间是多久？
输入： 两个整数 N 和 K
输出： 小青到小码家所需的最短时间（以分钟为单位）

题意分析

分析题意，我们可以把题目抽象为：在一数轴上给定坐标A、B，目的是使得A经过一系列变换后变为B。 点A的坐标改变方式有两种：
1.使当前坐标x变为x+1或x-1。
2.使当前坐标变为x*2。
观察到这儿，我们可以发现这种变换方式与二进制操作有些类似。方式1在一个二进制的最低为加一或减一；方拾二是将一个二进制数整体向左移动一位。
因此我们的解题思路是将小青所在地点N的坐标A转换为二进制数，再通过二进制操作来使得A变为B。

具体分析

首先对于输入的坐标A、B我们可以得到三种情况：
1.A = B 意味着不需要操作，直接输出0即可。
2.A > B 这种情况下由于题目中公交车不可以向后走，我们只需要一直执行操作1，使得A = B，也就是输出A-B。
3.A < B 这种是需要解决的基本情况。考虑到A < B，则有A的二进制位数小于等于B的二进制位数。此时我们假设A二进制数为n，B二进制位数为M，在B的前n位于A的n位相同时，对于多出的每一位，我们可以将A向左移动一位进行补齐，同时在补齐的过程中若此时A已补0至B的第j位，那么在B的第j位为1的情况下，我们对A进行操作1即可一直保证A与B相同。
接下来讨论如何使得A的n位与B的前m位相同。我们可以将A与B的二进制数在数轴上表示的范围收尾相连视作一个环。那么A与B的最短距离即是我们想要的最少操作数。
考虑到实际上A与B并不能形成一个环，当A的前n位向上溢出时，会使得二进制数向前进一位。因此我们考虑的两个方向的距离变在A > B[0:n]时为 A - B[0:n] + 1 + B[n+1] 或 B[0:n+1] - A（多比较了一位）;在A < B[0:n]时为 B[0:n] - A 或 A - B[0:n-1] + 1 + B[n] (少比较了一位) 。
最终我们只需要取两者之间的最小值即可。

总结

本题的解题思路是将两种操作转换为二进制表示，从而找到将A变为B的正确方式。但对于这种操作思路的最优性并没有详细分析，主要以“操作二执行的越多越好”的贪心思路为主。如果读者懂的话欢迎评论给出详细证明。