线性表的顺序存储

老齐Py
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线性表的顺序存储

线性表的定义和特点

由 n (n≥0)n~(n\ge0) 个数据特性相同的元素构成的有限序列称为线性表。

  • 元素的个数 n (n≥0)n~(n\ge0) 为线性表的长度
  • n=0n=0 时称为空表
  • 元素具有相同的特性，即属于同一数据对象
  • 相邻数据元素之间存在着序偶关系

特点：

  • 存在唯一的一个被称作“第一个”的数据元素
  • 存在唯一的一个被称为“最后一个”的数据元素
  • 除第一个之外，每个数据元素均只有一个前驱（直接前驱）
  • 除最后一个之外，每个数据元素均只有一个后继（直接后继）

顺序存储

定义和特点

线性表的顺序表示：用一组地址连续的存储单元依次存储线性表的数据元素，这种表示也称为线性表的顺序存储结构或顺序映像。通常，称这种存储结构的线性表为顺序表（Sequential List）。

特点：

  • 逻辑上相连的数据元素，物理次序也是相邻的。
  • 随机存取的存储结构：只要确定了存储线性表的起始位置，线性表中任一数据元素都可以随机存取。

比较：

  • 线性表：逻辑结构。
  • 顺序表、链表：物理结构。

结构

设第一个数据元素 a1a_1 的存储地址是 LOC(a1)\text{LOC}(a_1) （LOC\text{LOC} 即 Location 的前三个字母，也将第一个数据元素的地址称为基地址，或起始位置），每个数据元素占用 LL 个存储单元，并以所占的第一个单元的存储地址作为数据元素的存储起始位置，则线性表中第 ii 个数据元素的存储位置：

LOC(ai)=LOC(a1)+(i−1)×L,(1≤i≤n)\text{LOC}(a_i) = \text{LOC}(a_1)+(i-1)\times L,\quad(1\le i\le n)

高级语言中的数组类型也有随机存取的特性，因此，通常用数组来描述数据结构中的顺序存储结构。

顺序表的实现

  1. 静态分配：存储空间固定

    #define MAXSIZE 100    //顺序表可能达到的最大长度
typedef struct {
    ElemType data[MAXSIZE];   // 顺序表中的数据元素
    int length;               //当前长度
}SqList;    // 顺序表的结构类型为 SqList

  2. 动态分配

    #define InitSize 100    //初始化表的长度
typedef struct{
    ElemType *data;    // 动态分配数组的指针，存储空间的基地址
    int length, MaxSize;    // 当前长度和最大容量
}SqList;

    注意 ： 静态分配一旦空间占满后面再加入的数据会溢出；动态分配的空间一旦被占满，会先开辟一块比原来更大的空间用来存放原来的数据和新数据，再释放原来已满的空间，而不是直接在原来的空间上拓展新空间。因为顺序存储分配的存储空间都是连续的。

  3. C 语言分配和释放内存空间

    L.data = (ElemType*)malloc(sizeof(int)*InitSize); //分配空间

    其中 ElemType* 是 malloc 函数返回的一个指针，后再将指针的类型转换为数据元素类型的指针。``sizeof(int)*InitSize` 是 数据类型的大小×该类型数据的个数=分配的连续内存空间数据类型的大小\times该类型数据的个数 = 分配的连续内存空间 。

    free(p);    //释放指针 p 所指的内存空间

  4. 应用举例：

    //malloc、free函数的头文件在stdlib.h中
#include <stdlib.h>
#define InitSize 10   //默认的最大长度
typedef struct{
    int *data;    //动态分配数组（顺序表）指针，即存储空间基地址
    int listsize;    //顺序表容量
    int length;    //顺序表当前长度
}SqList;

//初始化顺序表
void InitList(SqList &L){    // 构造空的顺序表 L
    L.data = (int *)malloc(InitSize*sizeof(int));    //申请一连续的内存空间
    L.length = 0;    // 空表的长度为 0
    L.listsize = InitSize;    //此处将顺序表容量(即最大长度)设置为默认值，后续有函数进行修改
}

//增加动态组的长度，传入的参数为指向顺序表的指针 L 和增加的容量 len
void IncreaseSize(SqList &L, int len){
    int *p = L.data;    //定义int类型的指针p，指向原顺序表的data指针，即初始化所分配的连续内存空间
    //重新分配一个连续的内存空间，大小为原顺序表大小+增加的容量
    L.data = (int *)malloc((L.MaxSize+len)*sizeof(int));   //扩容, 原data指针已经指向新的内存空间, 而原来的空间由p指针管理
    
    for(int i=0; i<L.length; i++){
        L.data[i] = p[i];    //将原顺序表的数据复制到新的内存空间
    }
    L.listsize = L.listsize + len;    //新顺序表容量
    free(p);    // 释放原来的内存空间
}

//向顺序表中追加数据
void AppendElem(SqList &L, int a){
    L.data[L.length] = a;    //将整数追加到顺序表中
    L.length++;
}

//主函数
int main(){
    SqList L;    //声明一个顺序表
    InitList(L);    //初始化顺序表，空表
    //追加10个整数
    for (int i=0; i<10; i++){
        AppendElem(L, i);
    }
    IncreaseSize(L, 5);    //顺序表扩容5个单位的空间
    return 0;
}

基本操作

  1. 创建动态分配顺序表类型

    #define INITSIZE 10    //线性表存储空间的初始分配量
typedef struct
{
	ElemType *elem;     //存储空间基址
	int length;         //当前长度
	int listsize;        //当前分配的存储容量(以sizeof(ElemType)为单位) 
}SqList;

  2. 顺序表的初始化，即构造一个空的顺序表 L 。教材 [1] 的算法 2.1

    void InitList(SqList &L){ 
    // 为顺序表分配一个大小为 INITSIZE*sizeof(ElemType) 的内存空间
    L.elem=(ElemType*)malloc(INITSIZE*sizeof(ElemType)); 
    // 教材中使用 L.elem = new ElemType[INITSIZE] ，亦可
    if(!L.elem){
        exit(OVERFLOW);    //存储失败，退出
    }
    L.length = 0;    //空表长度为 0
    L.listsize = INITSIZE;
}

  3. 销毁顺序表。

    初始条件：顺序表 L 已存在。

    操作结果：销毁顺序表 L

    void DestroyList(SqList &L){
    free(L.elem);
    L.elem = NULL;
    L.length = 0;
    L.listsize = 0;
}

  4. 清空顺序表

    初始条件：顺序表 L 已存在

    操作结果：将顺序表设置为空表

    void ClearList(SqList &L){
    L.length = 0
}

  5. 判断顺序表是否为空

    初始条件：已知顺序表 L

    操作结果：若顺序表为空表，则返回 TRUE；否则返回 FALSE

    Status IsListEmpty(SqList L){
    if(L.length==0){
        return TRUE;
    }else{
        return FALSE;
    }
}

  6. 顺序表的长度

    初始条件：已知顺序表 L

    操作结果：返回顺序表中的数据元素个数，即顺序表长度

    int ListLength(SqList L){
    return L.length;
}

  7. 顺序表的取值（教材 [1] 的算法 2.2）

    初始条件：已知顺序表 L

    操作结果：取出第 ii 个（位序）数据元素（对应的数组下标是 i−1i-1 ，即 elem[i-1] 是第 ii 个数据元素。数组下标，也说成是数据元素的索引）

    Status GetElem(SqList L, int i, ElemType &e){
    if (i<1 || i>L.length) return ERROR;   // 判断 i 是否合理
    e = L.elem[i-1];
    return OK;
}

    时间复杂度 O(1)O(1)

  8. 顺序表的查找（教材 [1] 的算法 2.3）

    初始条件：已知顺序表 L

    操作结果：根据指定元素值 e ，朝招顺序表中第一个与 e 相等的数据元素，若找到，则返回该数据元素的索引；若查找失败，返回 0 。

    int LocateElem(SqList L, ElemeType e){
    for (i=0; i<L.length; i++){
        if(L.elem[i] == e) return i;    \\查找成功，返回索引，如果返回位置序号，则是 i+1
    return 0;
    }
}

    最好时间复杂度：O(1)O(1)

    最坏时间复杂度：O(n)O(n)

    平均时间复杂度：O(n)O(n)

  9. 顺序表的前驱

    初始条件：已知顺序表 L 以及其中的一个元素 cur_e

    操作结果：若 cur_e 不是第一个元素，返回 cur_e 的前驱；否则操作失败。

    代码1：

    Status PriorElem(SqList L, ElemType cur_e, ElemType &pre_e){
    for (i=1; i<L.length; i++){    //这里的 i 是索引，不是位序
        if(L.elem[i]==cur_e) {
            pre_e = L.elem[i-1];
            return OK;
        }else{
            return ERROR;
        }
        
    }
}

    代码2：

    Status PriorElem(SqList L,ElemType cur_e,ElemType *pre_e)
{   int i=2;    // 这里的 i 不是索引，是位序，对应着 while 中使用 i<=L.length
	ElemType *p=L.elem+1;
	while(i<=L.length&&*p!=cur_e)
	{
		p++;
		i++;
	}
	if(i>L.length)
		return INFEASIBLE; /* 操作失败 */
	else
	{
		*pre_e=*--p;
		return OK;
	}
}

  10. 顺序表的后继

    初始条件：已知顺序表 L 以及其中的一个元素 cur_e

    操作结果：若 cur_e 不是最后一个，则返回它的后继元素，否则操作失败。

    代码1：

    Status NextElem(SqList L, ElemType cure_e, ElemType &next_e){
    for (i=0; i<(L.length-1); i++){
        if (L.elem[i]==cure_e){
            next_e = L.elem[i+1];
            return OK;
        }else{
            return ERROR;
        }
    }
}

    代码2：

    Status NextElem(SqList L,ElemType cur_e,ElemType *next_e)
{   int i=1;
	ElemType *p=L.elem;
	while(i<L.length&&*p!=cur_e)
	{
		i++;
		p++;
	}
	if(i==L.length)
		return INFEASIBLE; /* 操作失败 */
	else
	{
		*next_e=*++p;
		return OK;
	}
}

  11. 向顺序表插入元素

    初始条件：已知顺序表 L

    操作结果：在第 ii 个位置，插入一个新的数据元素 e （这里的 ii 是位置序号，意思是讲原来顺序表的第 ii 个到最后一个数据元素，依次向后移动一个位置，这样第 i 个位置就空出来了，然后将数据元素 e 放在此处。表现出来，就是将数据元素 e 插入到第 ii 个位置的元素之前）

    代码1：来自教材 [1] 的算法 2.4，此代码中当存储空间已满时，返回 ERROR 。

    Status ListInsert(SqList &L, int i, ElemType e){
    if ((i<1) || (i>L.length+1)) return ERROR; //若 i 不合法，则报错
    if (L.length==INITSIZE) return ERROR;    //当前存储空间已满
    for (j=L.length-1; j>=i-1; j--){
        L.elem[j+1] = L.elem[j];    //插入位置之后的元素向后移
    }
    L.elem[i-1] = e;    //将新元素 e 放在第 i 个位置，索引是 i-1
    ++L.length;    //数据表长度加 1
    return OK;
}

    代码2：考虑存储空间满的情况下，增加分配

    #define INCREMENT 2  //增加的空间
Status ListInsert(SqList *L, int i, ElemType e){
    ElemType *newbase, *q, *p;
    if ((i<1)||(i>(*L).length+1)) return ERROR;  // i 不合法
    if ((*L).length>=(*L).listsize){    //当前存储空间已满，增加空间长度
        newbase = (ElemType *)realloc((*L).elem, ((*L).listsize+INCREMENT)*sizeof(ElemType));
        if (!newbase) exit(OVERFLOW);    //分配存储空间失败
        (*L).elem = newbase;             //新的基址
        (*L).listsize += INCREMENT;     //增加存储容量
    }
    q=(*L).elem+i-1;   //q为插入位置，此处与代码1中不同在于，采用了指针
	for(p=(*L).elem+(*L).length-1;p>=q;--p)   //插入位置及之后的元素右移
		*(p+1)=*p;
	*q=e;                 //插入e
	++(*L).length;        //表长增1
	return OK;
}

    最好时间复杂度：O(1)O(1)

    最坏时间复杂度：O(n)O(n)

    平均时间复杂度：O(n)O(n)

  12. 删除顺序表指定元素（教材 [1] 的算法 2.5）

    初始条件：已知顺序表 L

    操作结果：删除顺序表中指定的第 ii 个数据元素

    Status ListDelete(SqList &L, int i){
   if ((i<1)||(i>L.length)) return ERROR;
   for (j=i; j<=L.length-1; j++){   // 删除指定元素之后，其他元素前移
       L.elem[j-1] = L.elem[j];
   }
   --L.length;    //表长减 1
   return OK;
}

    最好时间复杂度：O(1)O(1)

    最坏时间复杂度：O(n)O(n)

    平均时间复杂度：O(n)O(n)

  13. 合并两个顺序表（教材 [1] 的算法 2.15）

    初始条件：已知顺序表 LA 和 LB

    操作结果：如果将两个顺序表视为两个集合，则合并之后的集合中无重复元素。即，将 LB 中与 LA 中不相同的元素合并回到 LA 中（假设 LA 的容量足够）

    算法步骤：

    ① 分别获取 LA 和 LB 的长度 mm 和 nn ；

    ② 从 LB 中第 1 个元素开始（这里是位序），循环 nn 次，执行一下操作：

    - 从 LB 中查找第 $i~(1\le i\le n)$ 个数据元素，并赋给 `e` ；
- 从 LA 中查找元素 `e` ，如果不存在，则将 `e` 插入到 LA 的最后。

    算法描述：

    void MergeList(SqList &LA, SqList &LB){
   m = LA.length;    //亦可使用 ListLength(LA) 得到顺序表长度
   n = LA.length;
   for (i=1; i<=n; i++){
       GetElem(LB, i, e); // 取得 LB 中位序 i 的数据元素（索引 i-1），并赋值给 e
       if (!LocateElem(LA, e)){  //如果 LA 中没有元素 e
           ListInsert(LA, ++m, e);  // 则将 e 插入到 LA 尾部
       }
   }
}

    时间复杂度 O(m×n)O(m\times n)

  14. 顺序有序表合并（教材 [1] 的算法 2.16）

    初始条件：已知两个用顺序表表示的有序表 LA 和 LB

    操作结果：假设两个 LA 和 LB 非递减排列，将二者合并之后得到的 LC 亦非递减排列。

    算法步骤：

    ① 创建空表 LC，其长度为 LA.length + LB.length 。

    ② 指针 pc 初始化，指向 LC 的第一个元素。

    ③ 指针 pa 和 pb 分别指向 LA 和 LB 的第一个元素。

    ④ 当 pa 和 pb 均未达到表尾时，依次比较二者所指向元素的值，并从对应的顺序表中读取相应的数据元素插入到 LC 的尾部。

    ⑤ 若 pb 已经到大 LB 的表尾，则依次将 LA 的剩余元素插入到 LC 的尾部。

    ⑥ 若 pa 已经到大 LA 的表尾，则依次将 LB 的剩余元素插入到 LC 的尾部。

    算法描述：

    代码1：

    void MergeList_Sq(SqList LA, SqList LB, SqList &LC){
   LC.length = LA.length + LB.length; 
   LC.elem = new ElemType[LC.length]; //为合并后的新表分配一个数组空间
   pc = LC.elem;    //指针 pc 指向新表的第一个元素
   pa = LA.elem;
   pb = LB.elem;
   pa_last = LA.elem + LA.length - 1;    //指针 pa_last 指向 LA 的最后一个元素
   pb_last = LB.elem + LB.length -1;
   while ((pa<=pb_last) && (pb<=pb_last)){    //LA、LB 均未到表尾
       if (*pa <= *pb){    // 将两表中较小的元素插入到 LC
           *pc = *pa;      // 教材 [1] 中的写法更简洁：*pc++ = *pa++
           *pa++;
       }else{
           *pc = *pb;    // *pc++ = *pb++
           *pb++
       }
       *pc++;
   }
   while (pa<=pa_last){  // LB 已到表尾，依次将 LA 中剩余元素插入 LC 的尾部
       *pc++ = *pa++;
   }
   while (pb<=pb_last){  // LA 已到表尾，依次将 LB 中剩余元素插入 LC 的尾部
       *pc++ = *pb++;
   }
   //上述亦可以写成：
   //while (pa<=pa_last){
       //*pc = *pa;
       //*pa++;
       //*pc ++
   //}
   
}

    时间复杂度 O(m+n)O(m+n) ；空间复杂度 O(m+n)O(m+n) 。

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