Introduction

本小节主要介绍的是变分自编码器（Variational AutoEncoder），VAE在之前的变分推断中就有介绍，具体在“随机梯度变分推断（SGVI）”中已进行描述。其中采用了重参数化技巧，也就是Amortized Inference。VAE在很多blog中都有详细的解释，这里只是很简单的描述其思想，希望可以抛转引玉。

VAE中的V指的是变分推断，这个概念是来自于概率图模型。而AE的概念是来自于神经网络。所以，VAE实际上是神经网络和概率图的结合模型。

从GMM到VAE

VAE是一个Latent Variable Model（LVM）。我们之前介绍的最简单的LVM是高斯混合模型（GMM），那么GMM是如何一步一步演变成VAE的呢？GMM是k个高斯分布（Gaussian Dist）的混合，而VAE的思想是无限个Gaussian Dist的混合。在GMM中，$Z\sim$ Categorical Distribution，如下表所示，

并且，其中$\sum_{i=1}^k = 1$，在给定$Z=C_k$的情况下，满足$P(X|Z=C_i)\sim \mathcal{N}(\mu_i, \sum_i)$。很容易可以感觉到，这个GMM顶多就用来做一做聚类分布，复杂的任务根本做不了。比如，目标检测，GMM肯定就做不了，因为$Z$只是离散的类别，它太简单了。下面举一个例子，假设$X$是人民群众，我们想把他们分成工人，农民和反动派。由于，$Z$是一个一维的变量，那么我们获得的特征就很有限，所以分类就很简单。

**那么，怎样才可以增加$Z$的特征信息呢？因为$Z$是离散的一维的隐变量，那么把它扩展成离散的高维的随机变量，不就行了。**那么，变化就来了，大家看好了。GMM中$Z$是离散的一维变量，那么在VAE被扩展为$m$维的高斯分布$Z\sim \mathcal{N}(0,I_{m\times m})$。而在给定$Z$的条件下，$P(X|Z)\sim \mathcal{N}(\mu_{\theta}(Z),\sum_{\theta}(Z))$。这里采用神经网络来逼近均值和方差，而不通过重参数化技巧这些直接去算（太麻烦了）。那么均值和方差是一个以$Z$为自变量，$\theta$为参数的函数。那么，假设条件可以总结为：

其中$Z\sim \mathcal{N}(0,I_{m\times m})$是一个先验分布假设，$Z$服从怎样的先验分布都没有关系，只要是高维的连续的就行了，只是在这里假设为Gaussian。我们关心的不是先验，我们实际上关心的是后验$P(Z|X)$，$Z$实际上只是帮助我们建模的。那么，接下来可以做一系列的推导：

推导到了这里有个什么问题呢？因为$Z$是一个高维的变量，所以$\int_z P(Z)P_\theta(X|Z) dZ$是intractable，积分根本算不出来。由于，$P_\theta(X)$是intractable，直接导致$P_\theta(Z|X)$也算不出来。因为根据Bayesian公式，

实际上这里就是贝叶斯推断中一个很常见的现象，即为归一化因子计算困难。

本小节主要从建模的角度介绍了VAE，实际上这就是一个Latent Variable Model。而GMM是$k$个离散的高斯分布的组合，由于隐变量$Z$是一维的离散变量，所以表达能力有限。为了增加其泛化能力，将其扩展为高维连续的变量。又因为其维度过高，导致通常情况下，后验分布基本是intractable。所以，下一小节将介绍如何求解此类问题。

VAE的推断和学习

上一小节中简要的描述了VAE的模型表示，下图则是VAE的模型图。

假设$\theta$这些都已经求出来了。如果要生成一个样本，怎么生成呢？我们先从$Z\sim P(Z)$中进行采样得到一个$z^{(i)}$。那么，$x^{(i)}\sim P_\theta(X|Z=z^{(i)})$进行采样即可。所以，这下大家可以深刻的理解，为什么我们关注的是后验$P(X|Z)$了。而$P_\theta(X|Z=z^{(i)})$是什么？我们用一个神经网络取逼近它就行了。\textbf{注意：本文中将其假设为高斯分布，并不是必要的，这个都是我们自定义的，是不是高斯分布都没有关系。}由于$P\theta(X|Z)$是intractable的，所以自然的想到可以用一个简单分布去逼近它：$Q_\phi(Z|X) \to P\theta(X|Z)$，即为：

前面已经讲过很多遍了，通常方法可以将$\log P(X)$做如下分解：

然后采用EM算法求解，EM算法是一种基于时间的迭代算法，之前已经做了详细的解释，大家可以自行查阅，

E-step为：当$Q=P_\theta(Z|X)$时，KL=0，此时expectation就是ELBO。

M-step为：

但是，肯定EM算法是用不了的，原因很简单$Q=P_\theta(Z|X)$这一步根本就做不到，$P_\theta(Z|X)$求不出来的。我们的求解目标是使$P_\theta(Z|X)$和$Q_\phi(Z|X)$靠的越近越好。那么可以表达为：

然后，关于$\theta$和$\phi$求梯度，采用梯度上升法来求解最优参数。可能大家会看到很多的叫法，SGVI，SGVB，SVI，Amortized Inference，实际上都是一样的，都是结合概率图模型和神经网络，使用重参数化技巧来近似后验分布，至于梯度怎么求，在“变分推断”中详细的介绍了SGVI方法的梯度计算方法。而怎样从分布$Q_\phi(Z|X)$中进行采样呢？用到的是重参数化技巧。

其中，$\epsilon$是噪声，通常假定为$\epsilon \sim \mathcal{N}(0,I)$；而且，$P(Z|X) \sim \mathcal{N}(\mu_\phi(X),\sum_\phi(X))$，而很容易可以得到，$Z = \mu_\phi(X) + \sum_\phi(X)^{\frac{1}{2}}\cdot \epsilon$。那么到这里就基本思想就讲完了，想了解更多的东西，建议看看苏建林的blog：\url{spaces.ac.cn/}。

实际上大家会发现，所谓的VAE不过是“新瓶装旧酒”。只不过是用之前的技术对当前的概念进行了包装而已。大家可以关注一下这两项，$\mathbb{E}_{Q_\phi(Z|X)}[\log P_\theta(X|Z)]$和$\text{KL}(Q_\phi(Z|X) \|P_\theta(Z))$。这个$Z\to X$的过程可以被称为Decode，而$X \to Z$被称为Encode。我们可以看到，在训练过程中，首先是从$Q_\phi(Z|X)$中采样得到$z^{(i)}$：$z^{(i)} \sim Q_\phi(Z|X)$，然后利用$z^{(i)}$生成出样本$x^{(i)}$，即为$x^{(i)} = X \sim P(X|Z=z^{(i)})$。这样就形成了一个环，从$X$开始到$X$结束。注意：训练时，$Z$由$Q_\phi(Z|X)$生成,而生成样本时，$Z$是从简单的高斯分布中采样得到的。

而$\text{KL}(Q_\phi(Z|X) \|P_\theta(Z))$就是一个正则化项，对$Q_\phi(Z|X)$有一个约束，希望其尽量靠近标准高斯分布。不让模型坍缩到一个点上，如果没有这一项，只是去学习$\mathbb{E}_{Q_\phi(Z|X)}[\log P_\theta(X|Z)]$就很有可能会过拟合。第一项应该是真正的objective function，而第二项是一个regularization。实际上第二项扮演的功能和熵正则化项是一样的，都是使分布尽可能均匀，从而保留更多的可能性，因为熵就是信息量的表现，熵越大可能性越大。

以上就是对公式（6）中结果的详细解释。

小结

本节只是对VAE的简单描述，更深层次的思想可以参考苏建林的blog。本节主要介绍了VAE的模型表示和推断学习过程。有关变分推断的部分，请大家自行阅读“变分推断”中的SGVI方法和“近似推断”那一小节，其中都做了详细的描述。我觉得本章的可读点在，1.从GMM模型中引出了VAE，VAE不过是GMM的进阶版。2.进阶以后发现维度太高，后验分布$P_\theta(Z|X)$计算不出来，于是采用简单分布$Q_\phi(Z|X)$来近似，这就变分法的思想。3.详细的介绍了优化ELBO中每一项的意思，这里$\text{KL}(Q_\phi(Z|X) \|P_\theta(Z))$是正则化项，相信很多同学在看VAE中，描述令表示层服从高斯分布的时候都是一脸懵逼的吧。4.本文中还复习了用神经网络，代替分布进行采样的重参数化技巧。

其实VAE不过是“新瓶装旧酒”，本身并没有什么技术的革新，用到的算法和思想都是比较老的。

本文由mdnice多平台发布