TOPSIS（优劣解距离法）

1. 模型简介

TOPSIS（Technique for Order Preference by Similarity to Ideal Solution），国内常称为优劣解距离法。 TOPSIS法是一种综合评价方法，在指标及指标的数据已知的时候能够有效做出评价。该方法以数据为基础进行评价。

2. 模型建立

模型的建立主要分为以下几个步骤：

1. 原始矩阵正向化
2. 再将矩阵标准化
3. 计算得分并归一化

3. 模型建立细则

原始矩阵

姓名	班级	吵架次数
小明	89	2
小王	60	0
小张	74	1
小李	99	3

利用这些数据来对这四位同学进行综合评分，以选出班长。

矩阵正向化

在讲正向化之前首先需要了解常见的四种指标：

指标名称	指标特点	例子
极大型（效益型）指标	越大越好	成绩、GDP增速、企业利润
极小型（成本型）指标	越小越好	费用、坏品率、污染程度
中间型指标	越接近某个值越好	水质量评估时的PH值
区间型指标	落在某个区间最好	体温、水中植物性营养物量

正向化即将不是极大型指标的其他指标转换为极大型指标。 其他三种指标如何转换为极大型指标：

1. 极小型：利用 $max-x$ 公式，在数据全为正数时也可以用 $\frac{1}{x}$。公式不唯一。

2. 中间型：{$x_i$}是一组公式中间型指标数据序列，$x_{best}$是最佳数据。

   正向化公式如下:

   $M = max\{| x_i - x_{best} |\} , z_i = 1 - \frac{x_i-x_{best}} {M}$

   得到以{$z_i$}为数据序列的正向化后的Z矩阵。

3. 区间型：{$x_i$}是一组公式区间型指标数据序列，最佳区间是[a, b]，正向化公式如下： $M = max\{a-min\{x_i\} , max\{x_i\}-b\} , z_i = \begin{cases} 1-\frac{a-x_i}{M}&, x_x<a\\1&, a\le{x_i}\le{b}\\ 1-\frac{x_i-b}{M}&, x_i>b \end{cases}$

矩阵标准化

标准化是为了消除量纲。 公式：

$z_{ij}=\frac{x_{ij}}{\sqrt{\sum^{n}_{i=1}{x_{ij}}}}$

该公式就是把每个元素除以所处列所有元素的平方和开根号。

标准化的公式不止这一个。

计算得分并归一化

假设有m个评价对象和n个指标。

定义最大值和最小值：

$Z^+ = (max\{z_{11}, z_{21}, ..., z_{n1}\}, max\{z_{12},z_{22}, ..., z_{n2}\}, ..., max\{z_{1m},z_{2m}, ..., z_{nm}\})$ $Z^- = (min\{z_{11}, z_{21}, ..., z_{n1}\}, min\{z_{12},z_{22}, ..., z_{n2}\}, ..., min\{z_{1m},z_{2m}, ..., z_{nm}\})$

矩阵中每一行代表每一个评价对象。现定义第i个评价对象与最大值和最小值的距离（欧氏距离）：

$D^+ = \sqrt{\sum^m_{j=1}({Z^+_j-z_{ij}})^2}$

$D^- = \sqrt{\sum^m_{j=1}({Z^-_j-z_{ij}})^2}$

未归一化的初始得分为：$S_i=\frac{D^-_i}{D^+_i + D^-_i}$

得出初始得分的列向量后，每个元素除以该列之和就是归一化后的结果了。类似于求比重。

4. 总结

TOPSIS方法主要基于数据，通过距离来量化评价指标。多用于解决多指标的决策性位置。

补充：