线性规划

1. 什么是线性规划

在数学规划中有三大因素：目标函数、决策变量、约束条件。当目标函数和约束条件都为线性表达式时，该规划为线性规划。

线性规划英文名为 Linear Programming。

确定决策变量、目标函数和约束条件。并整合为以下形式：

y = minC^Tx\\ s.t.\begin{cases} Ax \leq b\\ Aeq · x=beq\\ lb \leq x \leq ub \end{cases}

头顶第一行： $minC^Tx$ 为目标函数，其中min固定，即目标最优时，目标函数必须是求最小值的形式。C（Coefficient - 系数）为目标函数中的系数列向量。y就是目标最优时的目标函数值，x为决策变量的列向量。

括号内第一行：不等式约束（可能不止一条），其中小于等于号固定。A为该方程左侧的系数矩阵（形状跟随方程组），b （Boundary - 边界）为一个常数。

括号内第二行：等式约束（也可能不止一条）。同理Aeq为方程左侧的系数矩阵，beq为一个常数。

括号内第三行：lb（lower bound - 下界）下界列向量, ub（upper bound - 上界）上界列向量。即定义域（决策变量的固有范围）。这一条件常常是题目中隐藏的。

Matlab中有现成的API可以调用来解决线性规划问题：

[x, y] = linprog(c, A, b)
[x, y] = linprog(c, A, b, Aeq, beq)
[x, y] = linprog(c, A, b, Aeq, beq, lb, ub)

该API方法名为linprog，源自线性规划的英文名——Linear Programming（开头提及）。

接收参数有三种情况，分别是：

返回值都是在目标最优情况下，x为此时决策变量取值的向量，y此时为目标函数的值。

线性规划往往用于求解简单的最优化问题。大多数的题目中都会涉及非线性函数，此时线性规划则失去了作用。但部分非线性问题可以转化为线性问题求解，此时便可以使用线性规划。

使用线性规划模型时需注意找对目标函数、决策变量、约束条件，并且做到与标准格式相同，在代入Matlab提供的linprog接口时输入位置对应的正确参数，并正确接收返回值。