数据结构与算法之图论的基本概念与属性

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😘系列专栏：算法学习

💻首发时间：🎞2022年12月30日🎠

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1.图的概念

图是由顶点集合（简称点集）和顶点间的边（简称边集）组成的数据结构，通常用G(V,E)来表示。其中点集用V(G) 来表示，边集用 E(G) 来表示。

边也可以使用数学符号来表示，其中$(x,y)$表示一条无向边，$<x,y>$表示一条有向边，很好区分，图中带了箭头就是有向边否则就是无向边，无向边并不是没有指向，而是表示双向指向。

图的表示可以使用邻接矩阵和邻接表来实现，这个实现的细节后面说，先来介绍一下有关图的属性。

2.图的属性

首先图最基本的属性就是顶点和边，这个是构成图的基本要素。

根据边的有向和无向可以将图分为有向图和无向图，有向图两个顶点间是存在方向的，无向图两个顶点是互通的。

比如下面的$G_1$，$G_2$就是有向图，$G_3$，$G_4$就是无向图。

在有向图中，顶点对$<x, y>$是有序的，顶点对$<x,y>$称为顶点$x$到顶点$y$的一条边(弧)，$<x, y>$和$<y, x>$是两条不同的边，在无向图中，顶点对$(x, y)$是无序的，顶点对$(x,y)$称为顶点$x$和顶点$y$相关联的一条边，这条边没有特定方向，$(x, y)$和$(y,x)$是同一条边。

当图中的每两个顶点之间都有且只有一条边，这样的图就称作完全图，如$G_5$所示：

假设某个无向完全图有$n$个顶点，则该无向完全图边的数量为$\frac{n\times(n-1)}{2}$，若某个有向完全图有$n$个顶点，则该有向完全图边的数量为$n\times(n-1)$，两个顶点之间存在两条反向的边。

邻接顶点： 在无向图$G$中，若$(u, v)$是$E(G)$中的一条边，则称$u$和$v$互为邻接顶点，并称边$(u,v)$依附于顶点$u$和$v$；在有向图$G$中，若$<u, v>$是$E(G)$中的一条边，则称顶点$u$邻接到$v$，顶点$v$邻接自顶点$u$，并称边$<u, v>$与顶点$u$和顶点$v$相关联。

顶点的度： 顶点$v$的度是指与它相关联的边的条数，记作$deg(v)$。在有向图中，顶点的度等于该顶点的入度与出度之和，其中顶点$v$的入度是以$v$为终点的有向边的条数（指向顶点$v$边的条数），记作$indev(v)$;顶点$v$的出度是以$v$为起始点的有向边的条数（由该顶点$v$指出边的条数），记作$outdev(v)$。因此：$dev(v) = indev(v) + outdev(v)$。注意：对于无向图，顶点的度等于该顶点的入度和出度，即$dev(v) = indev(v) = outdev(v)$。

路径： 在图$G = (V， E)$中，若从顶点$v_i$出发有一组边使其可到达顶点$v_j$，则称顶点$v_i$到顶点$v_j$的顶点序列为从顶点$v_i$到顶点$v_j$的路径。

路径长度： 对于不带权的图，一条路径的路径长度是指该路径上的边的条数；对于带权的图，一条路径的路径长度是指该路径上各个边权值的总和。

简单路径与回路： 若路径上各顶点$v1，v2，v3，…，vm$均不重复，则称这样的路径为简单路径。若路径上第一个顶点$v1$和最后一个顶点$vm$重合，则称这样的路径为回路或环。

子图： 设图$G = \{V, E\}$和图$G_1 = \{V_1，E_1\}$，若$V_1$属于$V$且$E_1$属于$E$，则称$G_1$是$G$的子图。

连通图： 在无向图中，若从顶点$v_1$到顶点$v_2$有路径，则称顶点$v_1$与顶点$v_2$是连通的。如果图中任意一 对顶点都是连通的，则称此图为连通图。

强连通图： 在有向图中，若在每一对顶点$v_i$和$v_j$之间都存在一条从$v_i$到$v_j$的路径，也存在一条从$v_j$到 $v_i$的路径，则称此图是强连通图。

生成树： 一个连通图的最小连通子图称作该图的生成树。有$n$个顶点的连通图的生成树有$n$个顶点和$n-1$条边。

稀疏图与稠密图： 一个图有$n$个顶点，$e$条边，如果满足$e<nlog_2n$的图为稀疏图，反之为稠密图。