[蓝桥杯 2013 省 A] 大臣的旅费

题目描述

很久以前，T 王国空前繁荣。为了更好地管理国家，王国修建了大量的快速路，用于连接首都和王国内的各大城市。

为节省经费，T 国的大臣们经过思考，制定了一套优秀的修建方案，使得任何一个大城市都能从首都直接或者通过其他大城市间接到达。同时，如果不重复经过大城市，从首都到达每个大城市的方案都是唯一的。

J 是 T 国重要大臣，他巡查于各大城市之间，体察民情。所以，从一个城市马不停蹄地到另一个城市成了 J 最常做的事情。他有一个钱袋，用于存放往来城市间的路费。

聪明的 J 发现，如果不在某个城市停下来修整，在连续行进过程中，他所花的路费与他已走过的距离有关，在走第 $x$ 千米到第 $x+1$ 千米这一千米中（ $x$ 是整数），他花费的路费是 $x+10$ 这么多。也就是说走 $1$ 千米花费 $11$ ，走 $2$ 千米要花费 $23$ 。

J 大臣想知道：他从某一个城市出发，中间不休息，到达另一个城市，所有可能花费的路费中最多是多少呢？

输入格式

输入的第一行包含一个整数 $n(n \le 10^5)$ ，表示包括首都在内的 $T$ 王国的城市数。

城市从 $1$ 开始依次编号， $1$ 号城市为首都。

接下来 $n-1$ 行，描述 $T$ 国的高速路（ $T$ 国的高速路一定是 $n-1$ 条）。

每行三个整数 $P_i,Q,D_i$ ，表示城市 $P_i$ 和城市 $Q_i$ 之间有一条高速路，长度为 $D_i(D_i \le 1000)$ 米。

输出格式

输出一个整数，表示大臣J最多花费的路费是多少。

样例 #1

样例输入 #1

样例输出 #1

提示

样例解释：大臣 J 从城市 $4$ 到城市 $5$ 要花费 $135$ 的路费。

时限 5 秒, 64M。蓝桥杯 2013 年第四届省赛

分析

这题可以说是一个比较显然的题，为什么这么说呢，~~因为这是个板子题~~，因为只要知道树的直径，这题可以说是一个很好写的题目啦，这题说了这么多其实就是求树的直径为什么呢，因为树是一个无环连通图，树的直径就是树上两点最长距离，那么树的直径怎么球呢，分下面两步。

$1.$ 在树上随便找一点，然后找距离它距离最大的点，记作 $u$

$2.$ 从 $u$ 出发，找到距离 $u$ 距离最大的点 $v$ ，那么这个距离就是树的直径。

那么怎么证明呢，我们可以这么证明，只要证明 $u$ 是直径的端点，那么我们就可以证明 $uv$ 是直径，那么怎么证明 $u$ 是端点呢，我们可以用反证法，设 $u$ 不是一个直径的端点。我们回到第一个过程，假设我们选 $k$ 这个点，我们假定树存在一条直径 $yz$ ，端点分别为 $y$ 和 $z$ 。

$1.$ 假设 $yz$ 和 $ku$ 有交点为 $m$ ，因为 $u$ 是到 $k$ 距离最大的点之一，所以 $uk$ 一定 $≥km+mz$ ,所以 $um≥mz$ ，所以 $um+my≥ym+mz=yz$ ，所u到m必然也是一条直径，所以与假设不符合，故 $u$ 是一条直径的端点。

$2.$ 假设假设 $yz$ 和 $ku$ 没有交点，不妨在 $ku$ 上取一点 $a$ ， $yz$ 上取一点 $b$ ，连接 $ab$ ，同理显然可以发现 $au≥ab+bz$ ，那么 $ua+ab$ 显然 $≥bz$ ， $yb+ba+au≥yb+bz=yz$ ，故 $y$ 到 $u$ 必然也是一条直径，与假设不符合，故 $u$ 是一条直径的端点。

于是乎，我们可以找到解题方法，通过两次 $dfs$ 找到树的直径，最后通过等差数列求和公式就可以把答案求出来了。代码如下：

代码

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <map>
#define pb push_back
#define ll long long
using namespace std;
const int N=100010;
int n;
struct edge{
	int id,w;
};
ll dist[N];
vector<edge> h[N];
inline void dfs(int u,int father,int distance){
	dist[u]=distance;
	for(auto node:h[u]){
		if(node.id!=father){
			dfs(node.id,u,distance+node.w);
		}
	}
}
int main(){
	cin>>n;
	while(n--){
		int a,b,c;
		cin>>a>>b>>c;
		h[a].pb({b,c});
		h[b].pb({a,c});
	}
	dfs(1,-1,0);
	int u=1;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		if(dist[i]>dist[u]){
			u=i;
		}
	}
	dfs(u,-1,0);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		if(dist[i]>dist[u]){
			u=i;
		}
	}
	ll s=dist[u];
	cout<<(21+s)*s/2<<endl;
}

希望对大家有所帮助， $QAQ!$