一、初识递归 递归函数 = 终止条件 + 递归关系 终止条件： 当大问题被拆解成能轻松解决的小问题时，运行终止条件中的逻辑 递归关系： 定义如何将大问题拆解为小问题
例子：小名跑步。 例如：小名跑4公里，可以分为（跑1km+再跑3km）-> （跑1km+再跑2km）-> （跑1km+再跑1km）-> （跑完全程） 实现：
public void running(int distance) { if (distance == 0) { // 终止条件 System.out.println("小名跑完了全程！"); return; } else { System.out.println("小名跑了1km"); distance = distance - 1; System.out.println("还剩" + distance + "km"); running(distance); // 递归调用 } }
@Test public void test1() { int distance = 4; System.out.println("跑步总程：" + distance + "km"); running(distance); } 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 输出：
跑步总程：4km 小名跑了1km 还剩3km 小名跑了1km 还剩2km 小名跑了1km 还剩1km 小名跑了1km 还剩0km 小名跑完了全程！ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 正如：LeetCode: 700. 二叉搜索树中的搜索 树对象：
public class TreeNode { int val; TreeNode left; TreeNode right;
TreeNode() {
}
TreeNode(int val) {
this.val = val;
}
TreeNode(int val, TreeNode left, TreeNode right) {
this.val = val;
this.left = left;
this.right = right;
}
@Override
public String toString() {
return "TreeNode{" +
"val=" + val +
", left=" + left +
", right=" + right +
'}';
}
} 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 主要方法：
public TreeNode searchBST(TreeNode root, int val) { // 终止条件 if (root == null) return null; // 搜索完所有节点，目标节点不存在 if (root.val == val) return root; // 当前节点即为目标节点 // 递归(已知：二叉搜索树（BST）右子树节点值大于左子树节点值) if (val > root.val) return searchBST(root.right, val); // 目标值大于当前节点，开始搜索右子树 else return searchBST(root.left, val); // 目标值大于当前节点，开始搜索左子树 } 1 2 3 4 5 6 7 8 测试：
@Test public void test() { TreeNode treeNode1 = new TreeNode(1); TreeNode treeNode3 = new TreeNode(3); TreeNode treeNode7 = new TreeNode(7); TreeNode treeNode2 = new TreeNode(2,treeNode1,treeNode3); TreeNode treeNode4 = new TreeNode(4,treeNode2,treeNode7); TreeNode treeNode = searchBST(treeNode4, 2); System.out.println(treeNode == null ? null : treeNode.toString()); } 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 输出：
TreeNode{val=2, left=TreeNode{val=1, left=null, right=null}, right=TreeNode{val=3, left=null, right=null}} 1 递归三种形式： 1.Memorization缓存：将计算结果保存，避免重复计算 2.Divide and conquer分治：将一个大问题分解成小问题，各个击破，然后将“小问题的解”组合起来 3.Backracking回溯：逐步尝试所有满足条件的结果，一旦发现不可行的解，立即停止。
二、缓存 初始化缓存 如果缓存中存在答案，则直接返回 将计算结果写入缓存 正如：LeetCode：509. 斐波那契数
题目提示中提到： f(0) = 0，f(1) = 1 f(n) = f(n - 1) + f(n - 2)，其中 n > 1 所以我不难计算出f(2)=1，从上图我们可以看出f(2)被计算了两次，所以这里我们用缓存来减少加法的次数。
public int fib(int n) { //1.初始化缓存 int[] memo = new int[n+1]; int res = helper(memo, n); return res; }
public int helper(int[] memo, int n){ if (n < 2) { return n; } //2.如果缓存中存在答案，则直接返回 if(memo[n]!=0){ return memo[n]; } //3.将计算结果写入缓存 memo[n] = helper(memo, n - 1) + helper(memo, n - 2); return memo[n]; } 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 测试：
@Test public void test3(){ int fib = fib(4); System.out.println(fib); } 1 2 3 4 5 输出：
3 1 三、分治 把大问题分为一系列小问题 递归求解每个子问题 合并每个子问题的结果 二叉搜索树（BST）：左子树的所有值要比根节点小；右子树的所有值要比根节点大 正如：LeetCode：98. 验证二叉搜索树
public boolean isValidBST(TreeNode root) { return helper(root, Long.MIN_VALUE, Long.MAX_VALUE); }
public boolean helper(TreeNode node, long lower, long upper){ if (node == null) { return true; } if (node.val <= lower || node.val >= upper) { return false; } return helper(node.left,lower,node.val) && helper(node.right,node.val,upper); } 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 helper方法解读： 当入参是左子树节点，要限制所有其他节点比该节点小（限制上界是节点val） 当入参是右子树节点，要限制所有其他节点比根节点大（限制下界是节点val） 省略树对象：见上一小节
测试：
@Test public void test5(){ System.out.println("--------------示例1--------------"); TreeNode treeNode11 = new TreeNode(1); TreeNode treeNode33 = new TreeNode(3); TreeNode treeNode22 = new TreeNode(2,treeNode11,treeNode33); System.out.println(isValidBST(treeNode22)); System.out.println("---------------示例2-------------"); TreeNode treeNode1 = new TreeNode(1); TreeNode treeNode3 = new TreeNode(3); TreeNode treeNode6 = new TreeNode(6); TreeNode treeNode4 = new TreeNode(4, treeNode3, treeNode6); TreeNode treeNode5 = new TreeNode(5, treeNode1, treeNode4); System.out.println(isValidBST(treeNode5)); } 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 示例1（来自LeetCode）：
示例2（来自LeetCode）：
输出：
--------------示例1-------------- true ---------------示例2------------- false 1 2 3 4 四、回溯 迭代所有可能的候选对象 试试这个部分候选解决方案 给定候选者，进一步探索 回溯 正如：LeetCode：22. 括号生成
图片来源
从上文的例子中，可以看出递归的题目都可以被画成树状图。本题要求是“有效的”括号组合，所以肯定不可能由右括号开始。之后就是尝试列举所有括号组合情况了，当括号数量达到 2n 这就是我们的终止递归的条件了。这里值得注意的是：左括号的数量不能大于n，而且右括号的数量不能大于左括号的数量，显然这样是不符合题目“有效的”括号组合规定的
public void backtrack(List ans, StringBuilder cur, int open, int close, int max) { // 终止条件 if (cur.length() == 2 * max) { ans.add(cur.toString()); return; } // 左括号不能超过最大值 if (open < max) { // 试探添加左括号 backtrackV2(ans, cur.append("("), open + 1, close, max); // 回溯 cur.deleteCharAt(cur.length() - 1); } // 右括号数量不能大于左括号数量 if (close < open) { // 试探添加右括号 backtrackV2(ans, cur.append(")"), open, close + 1, max); // 回溯 cur.deleteCharAt(cur.length() - 1); } }
public List generateParenthesis(int n) { List ans = new ArrayList(); backtrack(ans, new StringBuilder(), 0, 0, n); return ans; }
测试
@Test public void test6(){ List strings = generateParenthesis(3); System.out.println(strings); } 1 2 3 4 5 输出：
[((())), (()()), (())(), ()(()), ()()()] 1 小名心得：在使用回溯法式，我们只需考虑清楚：方法外部的入参和出参，方法内部的限制条件和终止条件即可，无需过于关系代码是如何帮你实现的。也无需添加打印语句查看程序的执行顺序，那样只会越看越懵，所以我们只需考虑好，我们要怎样得到想要的结果即可。
参考内容： 【小小福讲算法】硅谷工程师十五分钟带你深入理解 Recursion （递归）算法，及其衍生出的算法（分治算法Divide and Conquer, 回溯 Backtracking）
参考内容中的大佬把递归讲的很好理解，感兴趣的小伙伴可以去看下（B站搬运版）。本文是小名学习后的总结，若有错误理解，希望大家可以在评论区纠正小名。感谢大家🙏
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