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😘系列专栏：算法学习

💻首发时间：🎞2022年12月27日🎠

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⭐️1739. 放置盒子⭐️

1739. 放置盒子

🔐题目详情

难度困难

有一个立方体房间，其长度、宽度和高度都等于 n 个单位。请你在房间里放置 n 个盒子，每个盒子都是一个单位边长的立方体。放置规则如下：

你可以把盒子放在地板上的任何地方。
如果盒子 x 需要放置在盒子 y 的顶部，那么盒子 y 竖直的四个侧面都必须与另一个盒子或墙相邻。

给你一个整数 n ，返回接触地面的盒子的最少可能数量*。*

示例 1：

输入：n = 3
输出：3
解释：上图是 3 个盒子的摆放位置。
这些盒子放在房间的一角，对应左侧位置。

示例 2：

输入：n = 4
输出：3
解释：上图是 3 个盒子的摆放位置。
这些盒子放在房间的一角，对应左侧位置。

示例 3：

输入：n = 10
输出：6
解释：上图是 10 个盒子的摆放位置。
这些盒子放在房间的一角，对应后方位置。

提示：

1 <= n <= 109

💡解题思路

解题思路： 贪心思想+数学推理题

想要占地板数最少，那么需要靠墙角进行方块的放置，因为墙角天然提供了两个侧面的消耗，这是这道题贪心的一个点吧，并且以类阶梯放置时，所占地面的方块数最少，下面我们来进行找规律。

地面上盒子数为 $1$ 时，最多可以放 $1$ 个盒子。

地面上盒子数为 $2$ 时，最多可以放 $2$ 个盒子。

地面上盒子数为 $3$ 时，最多可以放 $4$ 个盒子，不妨将这种放置情况称为完整的阶梯堆，以下简称阶梯堆。

地面上盒子数为 $4$ 时，最多可以放 $5$ 个盒子，相比于上一个阶梯堆，多了 $1$ 个地面盒子，多了 $1$ 个盒子上限。

地面上盒子数为 $5$ 时，最多可以放 $7$ 个盒子，相比于上一个阶梯堆，多了 $2$ 个地面盒子，多了 $1+2$ 个盒子上限。地面上盒子数为 $6$ 时，最多可以放 $10$ 个盒子，相比于上一个阶梯堆，多了 $3$ 个地面盒子，多了 $1+2+3$ 个盒子上限，形成了一个完整放置的阶梯堆。地面上盒子数为 $7$ 时，最多可以放 $11$ 个盒子，相比于上一个阶梯堆，多了 $1$ 个地面盒子，多了 $1$ 个盒子上限。

地面上盒子数为 $8$ 时，最多可以放 $13$ 个盒子，相比于上一个阶梯堆，多了 $2$ 个地面盒子，多了 $1+2$ 个盒子上限。

地面上盒子数为 $9$ 时，最多可以放 $16$ 个盒子，相比于上一个阶梯堆，多了 $3$ 个地面盒子，多了 $1+2+3$ 个盒子上限。地面上盒子数为 $10$ 时，最多可以放 $16$ 个盒子，相比于上一个阶梯堆，多了 $4$ 个地面盒子，多了 $1+2+3+4$ 个盒子上限，并且形成了一个新的阶梯堆。

通过这些举例，我们可以看出一些规律，当地面放置的盒子数为 $1$ ， $1+2$ ， $1+2+3$ ，...， $1+2+3+...+i$ 时，最多放置的盒子堆是一个阶梯堆。

地面盒子为 $1+2+3+...+i$ 时，即 $\frac{i\times(1+i)}{2}$ （等差数列求和），所对应盒子的上限为 $maxN$ （裂项相消）:

1+(1+2)+(1+2+3)+...+(1+2+3+...+i)=\sum_{i=1}^{i}{\frac{i\times(1+i)}{2}}

因为从顶端往下数，每层的盒子数为 $1$ ， $1+2$ ， $1+2+3$ ，...， $1+2+3+...+i$ 。

利用裂项相消计算得：

\begin{aligned} \sum_{i=1}^{i}{\frac{i\times(1+i)}{2}}&=\sum_{i=1}^{i}({\frac{i\times(1+i)}{2}}\times\frac{[(i+2)-(i-1)]}{3})\\ &=\sum_{i=1}^{i}(\frac{i(i+1)(i+2)}{6}-\frac{(i-1)i(i+1)}{6})\\ &=\frac{1}{6}\sum_{i=1}^{i}[i(i+1)(i+2)-(i-1)i(i+1)]\\ &=[(1\times2\times3)-(0\times1\times2)+(2\times3\times4)-(1\times2\times3)+...+i(i+1)(i+2)-(i-1)i(i+1)]\\ &=\frac{1}{6}[i(i+1)(i+2)-(0\times1\times2)]\\ &=\frac{i(i+1)(i+2)}{6}\\ \end{aligned}

最终 $maxN=\frac{i(i+1)(i+2)}{6}$ 。

根据变化规律，在阶梯堆基础上添加地面盒子数 $j$ 个，盒子上限会增加 $1+2+3+...+j=\frac{j\times(1+j)}{2}$ 。【不妨称作添加规律】

对于本题我们可以算出最大阶梯堆的地面盒子数量不妨设为 $x=1+2+...+k=\frac{k\times(1+k)}{2}$ ，然后再将剩余的盒子以以上【添加规律】模拟计数得出 $y$ ,即可的最终所占的地面盒子数 $ans=x+y$ 。

🔑源代码

Java代码1：

class Solution {
    public int minimumBoxes(int n) {
        int maxN = 0;
        int ans = 0;
        int k = 1;
        while (k * (1 + k) / 2 + maxN <= n) {
            maxN += k * (1 + k) / 2;
            k++;
        }

        //k多记了1
        k--;
        //x
        ans = k * (1 + k) / 2;
        k = 1;
        //基于阶梯堆，每增加一块地面盒子，上限增加k(k从1递增)
        while (maxN < n) {
            maxN += k;
            ans++;
            k++;
        }
        return ans;
    }
}

Java代码2：

class Solution {
    public int minimumBoxes(int n) {
        int maxN = 1;
        int ans = 0;
        int k = 1;
        while (maxN <= n) {
            k++;
            maxN = (int) ((long) k * (1 + k) * (2 + k) / 6);
        }

        //k多记了1
        k--;
        maxN = (int) ((long) k * (1 + k) * (2 + k) / 6);
        //x
        ans = k * (1 + k) / 2;
        k = 1;
        //基于阶梯堆，每增加一块地面盒子，上限增加k(k从1递增)
        while (maxN < n) {
            maxN += k;
            ans++;
            k++;
        }
        return ans;
    }
}

C++代码1：

class Solution {
public:
    int minimumBoxes(int n) {
        int ans = 0;
        int k = 1;
        int maxN = 0;
        while (maxN + k * (1 + k) / 2 <= n) 
        {
            maxN += k * (1 + k) / 2;
            k++;
        }
        //k多加1
        --k;

        ans = k * (1 + k) / 2;
        k = 1;
        while (maxN < n)
        {
            ans++;
            maxN += k;
            k++;
        }
        return ans;
    }
};

C++代码2：

class Solution {
public:
    int minimumBoxes(int n) {
        int ans = 0;
        int k = 1;
        int maxN = 1;
        while (maxN <= n) 
        {
            k++;
            maxN = (int) ((long) k * (k + 1) * (k + 2) / 6);
        }
        //k多加1
        --k;
        maxN = (int) ((long) k * (k + 1) * (k + 2) / 6);
        ans = k * (1 + k) / 2;
        k = 1;
        while (maxN < n)
        {
            ans++;
            maxN += k;
            k++;
        }
        return ans;
    }
};

C语言代码1：

int minimumBoxes(int n){
    int ans = 0;
    int k = 1;
    int maxN = 0;
    while (maxN + k * (1 + k) / 2 <= n) 
    {
        maxN += k * (1 + k) / 2;
        k++;
    }
    //k多加1
    --k;

    ans = k * (1 + k) / 2;
    k = 1;
    while (maxN < n) 
    {
        ans++;
        maxN += k;
        k++;
    }
    return ans;
}

C语言代码2：

int minimumBoxes(int n){
    int ans = 0;
    int k = 1;
    int maxN = 1;
    while (maxN <= n) 
    {
        k++;
        maxN = (int) ((long) k * (k + 1) * (k + 2) / 6);
    }
    //k多加1
    --k;
    maxN = (int) ((long) k * (k + 1) * (k + 2) / 6);
    ans = k * (1 + k) / 2;
    k = 1;
    while (maxN < n) 
    {
        ans++;
        maxN += k;
        k++;
    }
    return ans;
}

🌱总结

本题主要有两个难点，一个是贪心思维，知道从墙角下手，第二个就是数学规律推理，找出盒子变化规律。

参考资料： leetcode.cn/problems/bu…

【贪心数学推理困难题】1739. 放置盒子题解

⭐️1739. 放置盒子⭐️

🔐题目详情

💡解题思路

🔑源代码

🌱总结