LeetCode 312. Burst Balloons

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LeetCode 312. Burst Balloons

有 n 个气球，编号为0 到 n - 1，每个气球上都标有一个数字，这些数字存在数组 nums 中。

现在要求你戳破所有的气球。戳破第 i 个气球，你可以获得 nums[i - 1] * nums[i] * nums[i + 1] 枚硬币。 这里的 i - 1 和 i + 1 代表和 i 相邻的两个气球的序号。如果 i - 1或 i + 1 超出了数组的边界，那么就当它是一个数字为 1 的气球。

求所能获得硬币的最大数量。

 

示例 1：

输入： nums = [3,1,5,8]
输出： 167
解释：
nums = [3,1,5,8] --> [3,5,8] --> [3,8] --> [8] --> []
coins =  3*1*5    +   3*5*8   +  1*3*8  + 1*8*1 = 167

示例 2：

输入： nums = [1,5]
输出： 10

 

提示：

• n == nums.length
• 1 <= n <= 300
• 0 <= nums[i] <= 100

算法

(动态规划) O(n3) 状态： dp[i][j]表示戳爆从第ii到第jj个气球得到的最大金币数。

状态转移方程： dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i][k−1]+num[i−1]∗nums[k]∗nums[j+1]+dp[k+1][j])
其中，k可以理解成[i,j]范围里最后戳破的一个气球。

时间复杂度

O(n3): 三层循环

空间复杂度

O(n2): dp[i][j]数组的大小是(n+2)∗(n+2)

ac 代码

class Solution {
public:
    int maxCoins(vector<int>& nums) {
        int n = nums.size();
        nums.insert(nums.begin(),1); //在nums最前面插入一个1，表示nums[-1]=1
        nums.push_back(1); //在nums最后面插入一个1，表示nums[n]=1
        vector<vector<int>> dp(n+2, vector<int>(n+2, 0)); //初始化dp数组


        for(int len=1; len<=n; ++len){
            for(int i=1; i<=n-len+1; ++i){
                int j = i+len-1;
                for(int k=i; k<=j; ++k){
                    dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i][k-1] + nums[i-1]*nums[k]*nums[j+1] + dp[k+1][j]);
                }
            }
        }


        return dp[1][n];
    }
};