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Problem - 1366D - Codeforces

题目

题目大意

给定 $n$ 个正整数 $a_1,a_2,...,a_n$ ，对于每个 $1\le i\le n$ ，找到一对正整数 $d_{i,1}$ 和 $d_{i,2}$ 满足以下条件：

$d_{i,1}\mid a_i$ 。
$d_{i,2}\mid a_i$ 。
$gcd(d_{i,1}+d_{i,2},a_i)=1$ 。

如果不存在符合条件的正整数 $d_{i,1}$ 和 $d_{i,2}$ ，就对应输出 -1。

思路

每个对 $a_i$ 的查询相互独立，我们只考虑如下问题：
对于给定的正整数 $a$ ，求出两个正整数 $x$ 和 $y$ 满足：

$x\mid a$ 。
$y\mid a$ 。
$gcd(x+y,a)=1$ 。

我们先对 $a$ 进行质因数分解，使得

a=\prod_{i=1}^k p_i^{e_i}

其中 $k$ 是 $a$ 不同质因数的数量， $p_i$ 是质数且对任意 $1\le u,v\le k,u\neq v$ 均满足 $p_u\neq p_v$ 。

此时，若 $k\le 1$ 则无解。否则一组合法的 $(x,y)$ 为

\begin{cases} x=p_1^{e_1}\\ y=\prod_{i=2}^k p_i^{e_i} \end{cases}

理由如下：
对于 $a$ 的任意一个质因数 $p_i$ ，
如果 $p_i\mid x$ ，那么一定有 $p_i\nmid y$ ；
如果 $p_i\mid y$ ，那么一定有 $p_i\nmid x$ 。
所以一定有 $p_i\nmid (x+y)$ 。
即 $a$ 和 $x+y$ 没有公共的质因数。

我们直接 $O(\sqrt{a})$ 对 $a$ 进行质因数分解会 TLE，需要先预处理出 $\sqrt{10^7}$ 范围内的质数加速质因数分解。

代码

#include <stdio.h>
#include <algorithm>
#include <string.h>
#include <iostream>
#include <math.h>
#include <map>
#include <queue>
#include <vector>
#include <stdlib.h>
#include <time.h>
using namespace std;
using LL=long long;
const int N=1e6+5;
//const LL mod=998244353;
const LL mod=1e9+7;
int p[N],v[N],tot,n=3171;
int a,x[N],y[N];
LL solve()
{
	scanf("%d",&n);
	for (int i=1;i<=n;++i)
	{
		scanf("%d",&a);
		for (int j=1;p[j]*p[j]<=a;++j)
			if (a%p[j]==0)
			{
				x[i]=1;
				while (a%p[j]==0) a/=p[j],x[i]*=p[j];
				break;
			}
		if (a==1||x[i]==0)
		{
			x[i]=y[i]=-1;
			continue;
		}
		y[i]=a;
	}
	
	for (int i=1;i<=n;++i) printf("%d ",x[i]);
	printf("\n");
	for (int i=1;i<=n;++i) printf("%d ",y[i]);
	return 0;
}
int main()
{
	for (int i=2;i<=n;++i)
	{
		if (!v[i]) p[++tot]=i;
		for (int j=1;j<=tot&&i*p[j]<=n;++j)
		{
			v[i*p[j]]=1;
			if (i%p[j]==0) break;
		}
	}
	int T=1;
	while (T--) solve();
	return 0;
}