算法 | 前缀和数组

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前言

本文介绍前缀和数组的基本概念以及两种代码实现。

概念

当要求频繁的对一个数组计算在一定的索引区间的元素之和时，我们可以提前把数据计算好，放到一个数组里，这个数组就被称为前缀和数组。

比如，给定一个数组arr，计算从下标L到下标R之间元素的和，而且要求计算不同下标之间的元素和，极其频繁的调用。

当然简单的方法可以每次都去进行遍历计算，但是如果说调用量次数特别多，上千万次、上亿次，这样每次都去循环遍历判断，效率就差的很多了。

要想提高效率的话，我们可以提前把数组计算出来，放到一个新的数组里，这样每次计算的时候直接去新数组里取就好了，也就是空间换时间的方法，这新的数组就是我们所说的前缀和数组，一般的分为一维前缀和数组、二维前缀和数组。

一维前缀和数组

一维前缀和数组需要准备一个新的数组，把下标0到下标N的数据分别计算出来放入新的数组中，这个新数组help的含义为：

help[i]的值代表arr[0] + arr[1] + ... + arr[i]的元素之和。

如果我们要计算3到6之间元素的累加和的话，我们来看一下，help[6]代表arr[0]到arr[6]之间元素的累加和，help[2]代表arr[0]到arr[2]之间元素的累加和。那么3到6之间元素的累加和就为help[6]-help[2]。

如果要计算0到6之间的累加和的话，直接取help[6]即可。

代码实现

public class Code07_RangeNum {
    private int[] prefixSum;

    public Code07_RangeNum(int[] arr) {
        prefixSum = new int[arr.length];
        prefixSum[0] = arr[0];
        for (int i = 1; i < arr.length; i++) {
            prefixSum[i] = prefixSum[i - 1] + arr[i];
        }
    }

    public int sumRange(int L, int R) {
        return L == 0 ? prefixSum[R] : prefixSum[R] - prefixSum[L - 1];
    }

    public static void main(String[] args) {
        int[] arr = {3, 5, 2, 7, 1, 8, 13, 9, 12};

        Code07_RangeNum rangeNum = new Code07_RangeNum(arr);
        int sum = rangeNum.sumRange(1, 6);
        System.out.println(sum);
    }
}

二维数组实现思路

我们可以创建一个正方形张表，横边为R、竖边为L，如图。

因为L<=R，所以对角线下面的数据是不可能存在的，也就是空的。当我们要计算L到R上的元素之和时，只需要找到二维数组中对应的数据即可。

在生成这个表示，会生成L * R个元素，因为有一部分是不可能存在的，所以最后需要(L * R) / 2个元素。

代码实现

public class Code08_RangeNum {
    private int[][] prefixSum;

    public Code08_RangeNum(int[] arr) {
        prefixSum = new int[arr.length][arr.length];
        for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
            prefixSum[i][i] = arr[i];
            for (int j = i + 1; j < arr.length; j++) {
                prefixSum[i][j] = prefixSum[i][j - 1] + arr[j];
            }
        }
    }

    public int sumRange(int L, int R) {
        return prefixSum[L][R];
    }

    public static void main(String[] args) {
        int[] arr = {3, 5, 2, 7, 1, 8, 13, 9, 12};

        Code08_RangeNum rangeNum = new Code08_RangeNum(arr);
        int sum = rangeNum.sumRange(1, 6);
        System.out.println(sum);
    }
}