承上一节
人是万物的尺度。
上一节我们计算得来了一个矩阵的特征值，并展示了某些特别的特征向量和空间，这一节将展示几个例子，继续获得一个矩阵的空间和它们的联系。
--注：小括号 和 中括号 在本文是一样的，只是为了方便格式化显示。
第二部分，3 矩阵向量空间中的联系
关于空间的概念，矩阵四种空间(MIT课程):
列空间(C(A))，
零空间(N(A))，
行空间(C(A^t)列空间的转置)，
右零空间(N(A^t)零空间的转置)。
这里主要讨论 列空间，零空间，对于它们的理解可帮助我们理解。
3.1 列空间,零空间,线性独立
例：有以下矩阵:
A = （1 1 1 1
2 1 4 3
3 4 1 2）
其列空间为矩阵A的各列构成的空间，如下:
C(A) = span （1 （1 （1 （1
2 1 4 3
3） 4） 1） 2）
零空间定义:
矩阵A的零空间就是 矩阵A 变换为简化阶梯型的 零空间。
假设有特征向量 ->v 使得 A*->v = 0
那么最后由 特征向量 -> 得出的通解构成的向量组就是零空间。
求取其零空间, 取得 极简阶梯形如下:
[1 0 3 2
0 1 -2 -1
0 0 0 0]
现在假设特征向量 ->v 然后与以上极简阶梯型 乘 结果应该为0
[1 0 3 2 * [v1 = [0
0 1 -2 -1 v2 0
0 0 0 0] v3 0]
v4]
定义：极简阶梯型的每一行第一个非零元素为 主元，即非零首元。 没有非零首元的列表示 自由变量。
得到两个方程如下：
v1 + 0*v2 + 3v3 + 2v4 = 0
0*v1 + v2 + 2v3 + v4 = 0
v1，v2 都在非零首元位置，而自由变量为 v3，v4。
v1, v2 为主变量，v3，v4 自由变量，由此得到：
v1 = -3v3 -2v4
v2 = 2v3 + v3
N(A) = N(rref(A)) 由于有两个自由变量，主变量 v1，v2 由自由变量v3，v4的值决定。 可以得到其通解表示
N(A) = N(rref(A)) =
（v1 = {（-3 （ -2
v2 2 1
v3 v3 1 v4 0
v4） 0） 1）}
其中 v3，v4 ∈ IR 实数集
矩阵A的零空间 N(A) 即是以上通解的 所有线性组合。 也就是 A*->v = 0 的全部合理解。 全部线性组合： 等于这两个向量的生成空间，即
分量 -3，2，1，0的向量
分量 -2，1，0，1的向量
这两个分量的生成空间
N(A) = Space([-3 [-2 )
2 1
1 0
0] 1]
知道了矩阵A的零空间，现在矩阵A的列向量 是否相互线性独立？：
根据定义：
矩阵A的零空间 只包括 零向量，
那么这个矩阵A的列空间中的 列向量就是 相互线性独立了的。
如果相互线性独立，则通解 意味着唯一解。
L.T => A->v = 0
它表示矩阵A乘 特征向量 ->v 等于0：
A->v = 0
->v = 0
也就是说，零空间等于零向量 等于0.
N(A) = {->0}
这就是矩阵A的 列向量 相互独立的 充要条件： 零空间只有零向量。 如果该零空间包括了其他向量，则这些 列向量 不相互独立。
现在矩阵A 包含了两个分量的线性组合，所以A的列向量 不是 相互线性独立的。
向量空间的基：
由于 矩阵 A 的列空间为
C(A) = span （1 （1 （1 （1
2 1 4 3
3） 4） 1） 2）
矩阵 A 的零空间 包含两个分量，不是相互独立的，
所以C(A)不是 矩阵A 列向量的 基。
3.2 列向量空间
向量空间的基 是一组相互独立的向量，它可以生成一个子空间，
-
获取 矩阵A 的列向量 空间的基，这里有两个原因
1. 去掉 C(A) 的多余向量， 如果列向量空间中 某些向量可以由其他两个向量线性组合替代 则为重复可以去掉，因为该向量没有新的信息。 2. 在上一节我们知道矩阵A的零空间通解包含两个分量，不大可能矩阵的列向量空间为零，那么它们是否相互独立，哪些可以被删除呢目标删除多余列向量，假设在零空间 有一组子向量 ->x 使得列向量与之相乘可以为 0
->x = [x1, x2, x3, x4] C(A)*->x = 0那么有以下方程（矩阵的列向量线性组合）:
x1（ 1 + x2（ 1 + x3（ 1 + x4（ 1 =0 (式3.2.1) 2 1 4 3 3） 4） 1） 2）这里将利用自由变量，把一些向量用其他变量表示，因x3, x4为自由变量，我们那它们移动到右侧
x1（ 1 + x2（ 1 = x3（ 1 - x4（ 1 (式3.2.2) 2 1 4 3 3） 4） 1） 2）希望消除x4的列向量，因此假设当 x3 = 0，x4 = -1, 以此来寻找 x1, x2在零空间中的值
x1（ 1 + x2（ 1 = 0（ 1 -(-1) （ 1 (式3.2.3) 2 1 4 3 3） 4） 1） 2）由上一节知道，零空间中非零首元 和 自由变量有以下关系
x1 = -3x3 - 2x4 x2 = 2x3 + x4
为了证明，我们需要一些模型假设，这里就从假设两个自由变量 x3 x4 开始
当假设x3 = 0，x4 = -1, 那么代入其中得到 x1 = 2，x2 = -1 所以 式3.2.3 变成如下:
2[ 1 -1[ 1 = [ 2 - 1 = [ 1
2 1 4 - 1 3
3] 4] 6 - 4 2]
所以 C(A)列向量空间中 的向量 [1 可以被其他两个x1，x2向量经过线性变换后获得，可以被从 A矩阵的列向量空间中取出。
3
2]
同理，再次从 (式3.2.1) 开始假设，我们希望取出 x3 列向量，则假设 x3 = -1，x4 = 0, 计算得到
x1 = -3*-1 - 2*0 = 3
x2 = 2*-1 + 0 = -2
因此有 列向量中的向量 [ 1 不是必须的， 可以从x1，x2向量经过线性变换后获得，也从 A矩阵的列向量空间中取出。
4
1]
3[ 1 -2[ 1 = [ 3 - 2 = [ 1
2 1 6 - 2 4
3] 4] 9 - 8 1]
最后
C(A)final = span(（1 （1
2 1
3） 4）)
最后的向量空间是否可以相互转换？ 根据定义，某个向量的线性组合就是该向量乘以某个标量。 所以假设有标量，也就是某个不可变常量 d 使得
d（ 1 = （ 1
2 1
3） 4）
那么这个标量d 需要同时满足 d =1; d = 1/2; d = 3/4; 这与其定义冲突，所以不可能有 标量d存在，使得 C(A)final 中的两个向量相互转换。 因此C(A)final 中的两个分量之间相互独立。
矩阵A的列生成空间C(A)的生成空间，就是列向量空间 C(A)final，也称为 a Basis For C(A)。 在R3空间中表示该C(A)final 两个分量，它们是两个点，构成一个 plane（两个相互独立列向量） 如下:
_________________
/ | /
/ | .(x2) /
/ | /
/(x1) . /------ /
/ / /
/_______/________/
小结:
我们大致了解了神奇的“生成空间” 是怎么回事了，在空间中，直线是一个特例，对于空间中直线的理解，可以帮助我们了解空间中的平面性质。
若有错漏，请留言或私信讨论。
