利用离散余弦变换 (DCT) 执行图像压缩

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前言

离散余弦变换 (Discrete Cosine Transform, DCT) 以不同频率振幅的余弦函数组合表示图像，而离散傅里叶变换 (Discrete Fourier Transform, DFT) 则以复杂指数的形式使用正弦和余弦函数。以下方程式显示了如何计算 $N×N$ 图像 $f(x,y)$ 的 DCT 的第 $(i,j)$ 项(系数)：

其中 $C(u)=\left\{ \begin{array}{rcl} \frac 1 {\sqrt 2} & & {u=0}\\ 1 & & {u>0} \end{array} \right.$，对于块大小为 $8\times8$ 的 DCT，$N=8$ 。

利用离散余弦变换 (DCT) 执行图像压缩

DCT 算法用途广泛，通常用于实现图像 JPEG 压缩，在本节中，我们将学习如何使用 Python 执行图像重建操作。

(1) 首先，导入所需库，关键在于从 scipy.fftpack 模块导入所需的函数 dct() 和 idct()：

import scipy.fftpack as fp
from skimage.io import imread
from skimage.color import rgb2gray, gray2rgb
from skimage.draw import rectangle_perimeter
import numpy as np
import matplotlib.pylab as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D  # noqa: F401 unused import
from mpl_toolkits.axes_grid1 import make_axes_locatable
from matplotlib.ticker import LinearLocator, FormatStrFormatter
from scipy.fftpack import dct, idct

(2) 使用 scipy.fftpack 的 dct() 和 idct() 函数分别定义函数 dct2() 和 idct2() 以实现 2D-DCT 和 IDCT。其中，函数 dct() 的调用方式如下，而 idct() 函数的调用方式类似：

scipy.fftpack.dct(x, type=2, n=None, axis=-1, norm=None, overwrite_x=False)

该返回任意类型序列x的离散余弦变换。

根据在前言中介绍的 DCT 方程，并使用通过使用参数 norm ='ortho' 应用归一化：

def dct2(a):
    return dct(dct(a, axis=0, norm='ortho'), axis=1, norm='ortho')

def idct2(a):
    return idct(idct(a, axis=0, norm='ortho'), axis=1, norm='ortho')  

(3) 读取输入 RGB 图像并将其转换为灰度。计算图像的 2D-DCT，然后利用 IDCT 使用前面定义的函数重建图像：

im = rgb2gray(imread('1.png'))
imF = dct2(im)
im1 = idct2(imF)

(4) 检查重建的图像，观察其与原始图像之间的差别，查看其是否与原始图像相同，在这里使用函数 np.callclose() 评估图像间的差距：

print(np.allclose(im, im1))

(5) 使用 matplotlib.pyplot 绘制原始图像和重建图像，得到结果如下所示：

plt.figure(figsize=(10,5))
plt.gray()
plt.subplot(121), plt.imshow(im), plt.axis('off'), plt.title('original image', size=10)
plt.subplot(122), plt.imshow(im1), plt.axis('off'), plt.title('reconstructed image (DCT+IDCT)', size=10)
plt.tight_layout()
plt.show()

在以上结果图像中可以看到，重建后的图像与原始图像在视觉效果上类似，证明了可以使用 DCT 进行图像压缩，使用 IDCT 对压缩后的图像进行重建。