时间复杂度与空间复杂度

引自数据结构与算法之美

一、什么是复杂度分析？

• 1.数据结构和算法解决是“如何让计算机更快时间、更省空间的解决问题”。
• 2.因此需从执行时间和占用空间两个维度来评估数据结构和算法的性能。
• 3.分别用时间复杂度和空间复杂度两个概念来描述性能问题，二者统称为复杂度。
• 4.复杂度描述的是算法执行时间（或占用空间）与数据规模的增长关系。

二、为什么要进行复杂度分析？

• 1.和性能测试相比，复杂度分析有不依赖执行环境、成本低、效率高、易操作、指导性强的特点。
• 2.掌握复杂度分析，将能编写出性能更优的代码，有利于降低系统开发和维护成本。

三、如何进行复杂度分析？

3.1 示列

时间复杂度其实就是算法（代码）的执行效率，算法代码的执行时间

function sumFunc(n) {
    int num = 0; // 执行一次
    for (int i = 1; i <= n; ++i) { // 执行n次
        for (int j = 1; j <= n; ++j) { //执行n*n次
            num = num + i * j; // 执行n*n次
        }
    }
}

假设每行代码的执行时间为t，那么该代码执行时间为(2n*n+n+1)*t。
在数据结构/算法中，通常使用T(n)表示代码执行时间，
n表示数据规模大小，f(n)表示代码执行次数综合，
所以上面这个例子可以表示为f(n)=(2n*n+n+1)*t。
根据复杂度分析法则（3.3）多段代码取最大，那么时间复杂度为n^2

3.2.大O表示法

1. 来源

算法的执行时间与每行代码的执行次数成正比，用T(n) = O(f(n))表示，其中T(n)表示算法执行总时间，f(n)表示每行代码执行总次数，而n往往表示数据的规模。

大O时间复杂度并不具体表示代码真正的执行时间，而是表示代码执行时间随数据规模增长的变化趋势，所以，也叫作渐进时间复杂度，简称时间复杂度。

2. 特点 以时间复杂度为例，由于时间复杂度描述的是算法执行时间与数据规模的增长变化趋势，所以常量阶、低阶以及系数实际上对这种增长趋势不产决定性影响，所以在做时间复杂度分析时忽略这些项。

3.3.复杂度分析法则

• 单段代码看高频：比如循环。
• 多段代码取最大：比如一段代码中有单循环和多重循环，那么取多重循环的复杂度。
• 嵌套代码求乘积：比如递归、多重循环等
• 多个规模求加法：比如方法有两个参数控制两个循环的次数，那么这时就取二者复杂度相加。

四、常用的复杂度级别？

示列

简称	执行次数	时间复杂度
常数阶	$6$	$O(1)$
线性阶	$6n+6$	$O(n)$
平方阶	$6n^2+6n+6$	$O(n^2)$
对数阶	$6log_2^n+6$	$O(log^n)$
线性对数阶阶	$6nlog_2^n+6$	$O(nlog^n)$
立方阶	$6n^3+6n^2+6n+6$	$O(n^3)$
指数阶	$2^n+6$	$O(2^n)$
阶乘阶	$n!+ 6n^2$	$O(n!)$

• 多项式阶：随着数据规模的增长，算法的执行时间和空间占用，按照多项式的比例增长。包括， O(1)（常数阶）、O(logn)（对数阶）、O(n)（线性阶）、O(nlogn)（线性对数阶）、O(n^2)（平方阶）、O(n^3)（立方阶）
• 非多项式阶：随着数据规模的增长，算法的执行时间和空间占用暴增，这类算法性能极差。包括， O(2^n)（指数阶）、O(n!)（阶乘阶）

五、空间复杂度

• 前面提过，时间复杂度的全称是渐进时间复杂度，表示算法的执行时间与数据规模之间的增长关系。类比一下，空间复杂度全称就是渐进空间复杂度（asymptotic space complexity），表示算法的存储空间与数据规模之间的增长关系。
• 我们常见的空间复杂度就是 O(1)、O(n)、O(n2 )，像 O(logn)、O(nlogn) 这样的对数阶复杂度平时都用不到。而且，空间复杂度分析比时间复杂度分析要简单很多。