求最短路径

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已知如下带权有向图，从A到B最短路径怎么求呢？

这个题叫做：多源最短路径问题。

图上有4个点，8条边，我们可以用一个4*4的数组来存储两个点能否到达，自己到自己，路径为0，不可到达，路径为无穷大，比如1-》2长度为2，及数组名字[1][2]=2；2到4没有直接路径，所以数组名字【2】[4]=∞。那么上图可以抽象成

现在回到问题：如何求任意两个点之间的最短路径？我们可以通过n^2遍深度或者广度优先搜索，即对每一个点进行一次深度或者广度优先搜索，就可以求出任意两点的最短路径。这个放在后面讲解，那么我们还可以用什么方法呢？

要让两个点之间路程变短，只能引入前提点，即通过 点A-》其他点-》点B 才能缩短A到B的路程。那么对应其他的每一个点，都可能让除了他的另外两个节点之间路程变短。

当只能通过A直接到达B，那么上面的图就是结果，如果允许通过A-》节点1——》B那么结果如下

那么代码如何实现？ 下面表示只能通过节点1中转，我们只需要判断通过1和不通过1的路程大小就可以了

for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=1;j<=n;j++){
if(e[i][j]>e[i][1]+e[1][j])
  e[i][j]=e[i][1]+e[1][j];
}
}

那么通过二号节点，就可以

同理可得通过其他节点的。

那么允许通过12节点的代码怎么写？

结果是：

同理，可得通过1，2，3，4中转的，任意两点间最终距离为：

核心代码五行：

for(int k=1;k<=n;k++){
   for(int i=1;i<=n;i++){
      for(int j=1;j<=n;j++){
      if(e[i][j]>e[i][k]+e[k][i]){
          e[i][j]=e[i][k]+e[k][i]
      }
      }
      }
}

基本思想就是，最开始允许通过1中转，后来可以通过2，3.等。求任意两点之间最短距离，其实是一种动态规划思想。即每一步都拿到最小值。

深度优先遍历：前面用数组存储都是类似的。

如何找从1号城市到4号城市的最短路径？ 1-》4

1-》2-》3-》4

1-》2-》3-》1-》4 x

可以看出，两种符号的路径里面，直接1-》4最短。

所以dfs如下：

//cur当前城市编号   dis已经走过的路程
void dfs(int cur,int dis){
int j;
//如果已经走过路程大于已经找到的最短路，就表示得到了答案
if(dis>min){
return;
}
//判断是不是到达了目标城市
if(cur==n){
if(dis<min) min=dis;
return ;
}
for(int j=1;j<=n;j++){
//判断当前城市，到目的j是不是有路，并且这个路，是不是已经走过
if(e[cur][j]!=Integer_MAX && book[j]==0){
book[j]=1;//表示当前城市已经在路径
dfs(j,dis+e[cur][j]);//从j出发，继续
book[j]=0;
}
}
}