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Floyd算法

Floyd算法是求解多源最短路径问题的典型算法，可以知道图中任意两点之间的最短路径。该算法对于有向图、无向图都适用，同时允许图中带有负权边，但是不允许有负权环。

Floyd算法采用动态规划的思想，分为多个阶段来解决问题。

若图$G$有$n$个顶点$(V_0 \sim V_{n-1})$，则将求图中每一对顶点之间的最短路径分$n$个阶段∶

Floyd求解过程：

• 首先进行初始化，在没有其它顶点中转的情况下，求得各顶点间的最短路径；

• 在各顶点间增加$V_0$作为中转结点，求得各顶点间新的最短路径；

• 再增加$V_1$作为中转结点，求得各顶点间新的最短路径；

  ……

• 最后增加$V_{n-1}$作为中转结点，求得各顶点间最终的最短路径。

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3.1 算法思想

Floyd只能使用邻接矩阵来实现。

为了方便理解，我们来手动模拟一下实现过程。以有向图演示，无向图同理。

我们使用两个大小为$n \times n$的二维数组分别记录最短路径$dis$与中转顶点$path$。其中，最短路径矩阵可以告诉我们任意两顶点间的最短距离；而中转顶点矩阵可以告诉我们路径。

（1）初始化

初始化的最短路径矩阵其实就是邻接矩阵，中转顶点矩阵全部标记为$-1$，代表未经过中转。

（2）求解

① 加入$V_0$中转

可以看到，$V_0$顶点的入度为0，所以任何顶点都不能到达$V_0$，最短路径与中转顶点矩阵不变。

没有别的顶点可以通过$V_1$中转或使得$dis$减少，进行下一次中转。

② 加入$V_1$中转

可以看到，当我们添加到$V_1$作为中转时，

原先$V_2 \rightarrow V_3 = \infty$，现在$V_2 \rightarrow V_1 \rightarrow V_3= 2$，更新$dis[V_2][V_3]=2$，$path[V_2][V_3]=1$

原先$V_2 \rightarrow V_4 = 7$，现在$V_2 \rightarrow V_1 \rightarrow V_4= 6$，更新$dis[V_2][V_4]=6$，$path[V_2][V_4]=1$

没有别的顶点可以通过$V_1$中转或使得$dis$减少，进行下一次中转。

③ 加入$V_2$中转

可以看到，当我们添加到$V_2$作为中转时，

原先$dis[V_0][V_1] = \infty$，现在$dis[V_0][V_2] + dis[V_2][V_1]= 2$，更新$dis[V_0][V_1]=2$，$path[V_0][V_1]=2$

原先$dis[V_0][V_3] = \infty$，现在$dis[V_0][V_2] + dis[V_2][V_3]= 3$，更新$dis[V_0][V_3]=3$，$path[V_0][V_3]=2$

原先$dis[V_0][V_4] = 10$，现在$dis[V_0][V_2] + dis[V_2][V_4]= 7$，更新$dis[V_0][V_4]=7$，$path[V_0][V_4]=2$

没有别的顶点可以通过$V_2$中转或使得$dis$减少，进行下一次中转。

④ 加入$V_3$中转

可以看到，当我们添加到$V_3$作为中转时，

原先$dis[V_0][V_4] = 7$，现在$dis[V_0][V_3] + dis[V_3][V_4]= 4$，更新$dis[V_0][V_4]= 4$，$path[V_0][V_4]=3$

原先$dis[V_1][V_4] = 5$，现在$dis[V_1][V_3] + dis[V_3][V_4]= 2$，更新$dis[V_1][V_4]=2$，$path[V_1][V_4]=3$

原先$dis[V_2][V_4] = 6$，现在$dis[V_2][V_3] + dis[V_3][V_4]= 3$，更新$dis[V_2][V_4]=3$，$path[V_1][V_4]=3$

没有别的顶点可以通过$V_3$中转或使得$dis$减少，进行下一次中转。

⑤ 加入$V_4$中转

可以看到，当我们添加到$V_4$作为中转时，由于$V_4$的出度为0，故不会进行更新，且已经将所有顶点中转完成，得到的便是最终结果。

（3）输出

$dis[i][j]$存储的便是$V_i \sim V_j$的最短路径长度。

而想要输出$V_i \sim V_j$的最短路径，则需要顺着$path$数组往前找。

以上图的$V_2 \sim V_4$顶点为例：

首先$path[V_2][V_4]=3$，则说明经过$V_3$进行中转，路径为$V_2 \rightarrow (V_3) \rightarrow V_4$

接着找$path[V_2][V_3]=1$，则说明经过$V_1$进行中转，路径为$V_2 \rightarrow (V_1) \rightarrow V_3 \rightarrow V_4$

接着找$path[V_2][V_1]=-1$，则说明没有经过任何顶点进行中转，得到最终的路径为$V_2 \rightarrow V_1 \rightarrow V_3 \rightarrow V_4$

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3.2 实现

给出核心部分的C语言代码：

for (k = 0; k < VertexNum; k++) // 将每个顶点都作为中转尝试
{
    // 遍历整个矩阵 i-行 j-列
    for (i = 0; i < VertexNum; i++)
    {
        for (j = 0; j < VertexNum; j++)
        {
            // 若经过k顶点中转，路径更短，则更新矩阵
            if (dis[i][k] + dis[k][j] < dis[i][j])
            {
                dis[i][j] = dis[i][k] + dis[k][j]; // 更新dis矩阵
                path[i][j] = k;                    // 更新path矩阵
            }
        }
    }
}

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3.3 算法分析

• 空间复杂度$O(|V|^2)$

• 时间复杂度$O(|V|^3)$

估计这时候你也看出了一些问题，我使用Dijkstra算法将每个顶点作为起点计算一遍，时间复杂度不也是$O(|V|^3)$吗？那Floyd算法的优势在哪里呢？

其实，虽然两种算法都是$O(|V|^3)$，但是前面的系数并不相同，Floyd的系数会更小一些，所有效率也会更高一些。也因此，即使它的复杂度到达了$O(|V|^3)$的程度，对于一些中小规模的图仍然是适用的。

同时Floyd也支持负权边，也是其一个优点。