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前言
我们已经学习了如何在实际应用中使用 numpy.fft 模块的 2D-FFT。在本节中，我们将介绍 scipy.fftpack 模块的 fft2() 函数用于实现高斯模糊 LPF。
实现高斯模糊
在本节，我们将使用人物灰度图像作为输入，并使用 FFT 从图像中创建 2D 频率响应数组：
import numpy as np
import numpy.fft as fp
from skimage.color import rgb2gray
from skimage.io import imread
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy import signal
from matplotlib.ticker import LinearLocator, FormatStrFormatter
im = rgb2gray(imread('1.png'))
freq = fp.fft2(im)
通过计算两个 1D 高斯核的外积，在空间域中创建高斯 2D 核用作 LPF：
kernel = np.outer(signal.gaussian(im.shape[0], 1), signal.gaussian(im.shape[1], 1))
使用 DFT 获得高斯核的频率响应：
freq_kernel = fp.fft2(fp.ifftshift(kernel))
使用卷积定理通过逐元素乘法在频域中将 LPF 与输入图像卷积：
convolved = freq*freq_kernel # by the Convolution theorem
使用 IFFT 获得输出图像，需要注意的是，要正确显示输出图像，需要缩放输出图像：
im_blur = fp.ifft2(convolved).real
im_blur = 255 * im_blur / np.max(im_blur)
绘制图像、高斯核和在频域中卷积后获得图像的功率谱，可以使用 matplotlib.colormap 绘制色，以了解不同坐标下的频率响应值：
plt.figure(figsize=(20,20))
plt.subplot(221), plt.imshow(kernel, cmap='coolwarm'), plt.colorbar()
plt.title('Gaussian Blur Kernel', size=10)
plt.subplot(222)
plt.imshow( (20*np.log10( 0.01 + fp.fftshift(freq_kernel))).real.astype(int), cmap='inferno')
plt.colorbar()
plt.title('Gaussian Blur Kernel (Freq. Spec.)', size=10)
plt.subplot(223), plt.imshow(im, cmap='gray'), plt.axis('off'), plt.title('Input Image', size=10)
plt.subplot(224), plt.imshow(im_blur, cmap='gray'), plt.axis('off'), plt.title('Output Blurred Image', size=10)
plt.tight_layout()
plt.show()
要绘制输入/输出图像和 3D 核的功率谱，我们定义函数 plot_3d()，使用 mpl_toolkits.mplot3d 模块的 plot_surface() 函数获取 3D 功率谱图，给定相应的 Y 和Z值作为 2D 阵列传递：
def plot_3d(X, Y, Z, cmap=plt.cm.seismic):
fig = plt.figure(figsize=(20,20))
ax = fig.gca(projection='3d')
# Plot the surface.
surf = ax.plot_surface(X, Y, Z, cmap=cmap, linewidth=5, antialiased=False)
#ax.plot_wireframe(X, Y, Z, rstride=10, cstride=10)
#ax.set_zscale("log", nonposx='clip')
#ax.zaxis.set_scale('log')
ax.zaxis.set_major_locator(LinearLocator(10))
ax.zaxis.set_major_formatter(FormatStrFormatter('%.02f'))
ax.set_xlabel('F1', size=15)
ax.set_ylabel('F2', size=15)
ax.set_zlabel('Freq Response', size=15)
#ax.set_zlim((-40,10))
# Add a color bar which maps values to colors.
fig.colorbar(surf) #, shrink=0.15, aspect=10)
#plt.title('Frequency Response of the Gaussian Kernel')
plt.show()
在 3D 空间中绘制高斯核的频率响应，并使用 plot_3d() 函数：
Y = np.arange(freq.shape[0]) #-freq.shape[0]//2,freq.shape[0]-freq.shape[0]//2)
X = np.arange(freq.shape[1]) #-freq.shape[1]//2,freq.shape[1]-freq.shape[1]//2)
X, Y = np.meshgrid(X, Y)
Z = (20*np.log10( 0.01 + fp.fftshift(freq_kernel))).real
plot_3d(X,Y,Z)
下图显示了 3D 空间中高斯 LPF 核的功率谱：
绘制 3D 空间中输入图像的功率谱：
Z = (20*np.log10( 0.01 + fp.fftshift(freq))).real
plot_3d(X,Y,Z)
最后，绘制输出图像的功率谱(通过将高斯核与输入图像卷积获得)：
Z = (20*np.log10( 0.01 + fp.fftshift(convolved))).real
plot_3d(X,Y,Z)
从输出图像的频率响应中可以看出，高频组件被衰减，从而导致细节的平滑/丢失，并导致输出图像模糊。
