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LeetCode 300. Longest Increasing Subsequence
给你一个整数数组 nums ，找到其中最长严格递增子序列的长度。
子序列 是由数组派生而来的序列，删除（或不删除）数组中的元素而不改变其余元素的顺序。例如，[3,6,2,7] 是数组 [0,3,1,6,2,2,7] 的子序列。
示例 1：
输入： nums = [10,9,2,5,3,7,101,18]
输出： 4
解释： 最长递增子序列是 [2,3,7,101]，因此长度为 4 。
示例 2：
输入： nums = [0,1,0,3,2,3]
输出： 4
示例 3：
输入： nums = [7,7,7,7,7,7,7]
输出： 1
提示：
1 <= nums.length <= 2500-104 <= nums[i] <= 104
进阶：
- 你能将算法的时间复杂度降低到
O(n log(n))吗?
算法1
（动态规划）O(n2) 用数组dp[i]记录以nums[i]结尾（即nums[i]为最后一个数字）的最长递增子序列的长度，则递推方程为dp[i]=max(dp[j]+1)，其中要求1≤j<i且nums[j]<nums[i]。
时间复杂度分析：对每个i(1≤i≤ni)，都需要从1遍历到i，则时间复杂度为O(n2)，空间复杂度的话需要一个额外的dp数组，空间复杂度为O(n2)。
ac代码
class Solution {
public:
int lengthOfLIS(vector<int>& nums) {
if(nums.size()==0)
return 0;
vector<int> dp(nums.size(),1);
int res = 1;
for(int i= 1;i<nums.size();i++){
for(int j = 0;j<i;j++){
if(nums[i]>nums[j])
dp[i] = max(dp[i],dp[j]+1);
}
if(dp[i]>res)
res = dp[i];
}
return res;
}
};
算法2
（动态规划 二分查找）O(nlogn) 在解法1中，对于每个i，都需要遍历dp[1]到dp[i-1]，但其实是不必要的，因为dp[i]=max(dp[j]+1),1≤j<i且nums[j]<nums[i]dp[i]=max(dp[j]+1),1≤j<i且nums[j]<nums[i]，那么对于j而言，希望dp[j]越大越好，nums[j]越小越好，那么在数组中，若nums[p]≥nums[q]但dp[p]≤dp[q]，那么对于求dp[i]来说，nums[p]是没有用的。
例如在数组[1,2,5,3,7,8]中，nums[2]=5,dp[2]=3（序列[1,2,5]）,nums[3]=3,dp[3]=3（序列[1,2,3]），那么对于数组中下一个数字7来说，下标为2的5就是没有用的，因为存在下标3，使得nums[3]<nums[2]且dp[3]≥dp[2]，那么我们就不用考虑下标为2的数字5了。
因此我们可以维护一个新的数组help，help[i]表示最长子序列长度为i时的最小的结尾num值（例如在数组[1,2,5,3,7]中，长度为3的子序列有[1,2,3]，[1,2,5]，[2,5,7]三个，取最小的结尾数字，那么help[3]=3）。
对于数字m，我们只需要找到找到最大的满足help[j] < m的j，那么就意味着把m接在help[j]这个数字后面就可以了，这个子序列的长度是j+1，同时我们需要判断m是否比原来的help[j+1]小，如果m更小的话就需要更新help[j+1]=m，这一定是一个单调递增的数组（因为要求子序列必须是单调递增的，那么序列长度为i+1的子序列最后一个数字一定比序列长度为i的子序列最后一个数字要大），那么我们就可以通过二分查找来找到满足条件的j，因此把原来查找的复杂度由O(n)降为O(logn)。
时间复杂度分析：如上分析，对于每个m，复杂度为O(logn)，有n个数字，因此时间复杂度为O(nlogn)，需要额外的help数组，空间复杂度为O(n)。
ac代码
class Solution {
public:
int lengthOfLIS(vector<int>& nums) {
if(nums.size()==0)
return 0;
vector<int> help(nums.size()+1,0);
help[1] = nums[0];
int maxlen = 1;
for(int i= 1;i<nums.size();i++){
int left = 1;
int right = maxlen;
while(left<=right){//二分查找
int mid = (left+right)/2;
if(help[mid]<nums[i])
left = mid+1;
else
right = mid-1;
}
help[left] = nums[i];//维护help数组
if(left>maxlen)//left值是nums[i]的子序列长度
maxlen=left;
}
return maxlen;
}
};
