当青训营遇上码上掘金

主题 4：攒青豆

现有 $n$ 个宽度为 $1$ 的柱子，给出 $n$ 个非负整数依次表示柱子的高度，排列后如下图所示，此时均匀从上空向下撒青豆，计算按此排列的柱子能接住多少青豆。（不考虑边角堆积）

借用一下图片~

以下为上图例子的解析：
输入：height = [5,0,2,1,4,0,1,0,3]  
输出：17  
解析：上面是由数组 [5,0,2,1,4,0,1,0,3] 表示的柱子高度，在这种情况下，可以接 17 个单位的青豆。

思路1：单调栈

本题有非常多的解法，首先是单调栈的做法~

对于本题，我们可以维护一个栈，栈中存储的是 $height$ 数组的下标，对应的值是 不严格单调递减 的。这里的 不严格 指的是栈中存储的 $height$ 数组的下标对应的高度可能是相等的。

假设栈顶的元素下标为 $top$，栈顶元素的上一个元素的下标为 $left$ ，此时满足 $height[stack[left]] \ge height[stack[top]]$ ， 那么就会形成一个 $min(height[stack[left]], height[i]) - height[stack[top]]$ 高度的坑，记为 $h$，坑的长度为 $i - stack[left] - 1$ ，记为 $w$

因此这个坑内累积的绿豆就为 $w * h$

最后总的累积的绿豆就是所有这些坑累积的绿豆之和

时间复杂度为 $O(n)$

简单版本的C++实现如下~~~

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<vector>
int main() {
    int x;
    std::vector<int> height;
    while (std::cin >> x) {
        height.push_back(x);
    }
    int n = height.size();
    std::vector<int> left;
    int res = 0;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        while ((int)left.size() > 0 && height[left.back()] < height[i]) {
            int hh = height[left.back()];
            left.pop_back();
            if ((int)left.size() == 0) break;
            int h = std::min(height[left.back()], height[i]) - hh;
            int w = i - left.back() - 1;
            res += w * h;
        }
        left.push_back(i);
    }
    std::cout << res << std::endl;
}

思路2：前后缀分解

考虑每一个位置能够装下的绿豆（就是按列求啦~），对于一列，能够装下的绿豆就是其 左边的最大高度和右边的最大高度中的最小值，减去这一列自身的高度

为了实现 i 位置的左边和右边的最大高度，我们需要额外维护两个数组 pre,post ，分别表示前缀最大高度和后缀最大高度

这种做法的正确性是显然的，因为对于每一列来说，只有当这一列的左边和右边同时存在比他大的数，才会堆积绿豆，并且如果存在，那么这一列能够装下的绿豆，就是左边和右边的最小高度减去自身的高度。

简单版本的C++实现如下~~~

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<vector>
int main() {
    int x;
    std::vector<int> height;
    while (std::cin >> x) {
        height.push_back(x);
    }
    int res = 0, n = height.size();
    std::vector<int> pre(n, 0), post(n, 0);
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        pre[i] = height[i];
        if (i > 0) pre[i] = std::max(pre[i - 1], pre[i]);
    }
    for (int i = n - 1; i >= 0; i--) {
        post[i] = height[i];
        if (i < n - 1) post[i] = std::max(post[i + 1], post[i]);
    }
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        res += std::min(pre[i], post[i]) - height[i];
    }
    std::cout << res << std::endl;
}