Day14 01背包

1、01背包

• 题意：体积为w[i]将至为v[i]的物品装到体积为N的背包中，要求价值最大。
• 思路：
  1. 回溯。将所有的物品依次放入，当达到背包容量时，记录当前的最大价值，然后回溯。ans取每次回溯记录结果的最大值
  2. 动态规划。
     • 最大价值，需要考虑在N容量的背包放入哪几个物品。即状态为容量和物品
     • 在容量和物品的状态中，每次有两种状态装进背包和未装进背包
     • 综上：

       • 定义DP数组dp[i][j]表示前i个物品装进容量为j的背包的最大价值
       • $dp[i][j]=max[dp[i-1][j],dp[i-1][j-weight[i]]+value[i]]$

     • coding

     int knapsack(int W, int N, int[] wt, int[] val) {
         int N == wt.length;
         // base case 已初始化
         int[][] dp = new int[N][W];
         for (int i = 0; i < N; i++) {
             for (int w = 0; w < W; w++) {
                 if (w - wt[i - 1] < 0) {
                     // 这种情况下只能选择不装入背包
                     dp[i][w] = dp[i - 1][w];
                 } else {
                     // 装入或者不装入背包，择优
                     dp[i][w] = Math.max(
                         dp[i - 1][w - wt[i-1]] + val[i-1], 
                         dp[i - 1][w]);
                 }
             }
         }
     
         return dp[N][W];
     }
     

  3. 优化。
     • 根据二维DP的填补过程，dp[i][j]只跟$dp[i-1][j],dp[i-1][j-weight[i]]$有关
     • dp[i]相当于将dp[i-1]进行copy选择

      public static void testWeightBagProblem(int[] weight, int[] value, int bagWeight){
          int wLen = weight.length;
          //定义dp数组：dp[j]表示背包容量为j时，能获得的最大价值
          int[] dp = new int[bagWeight + 1];
          //遍历顺序：先遍历物品，再遍历背包容量
          for (int i = 0; i < wLen; i++){
              for (int j = bagWeight; j >= weight[i]; j--){
                  dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
              }
          }
          //打印dp数组
          for (int j = 0; j <= bagWeight; j++){
              System.out.print(dp[j] + " ");
          }
      }