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Dashboard - Codeforces Round #837 (Div. 2) - Codeforces

A. Hossam and Combinatorics

题目大意

给定长度为 $n$ 的数组 $a_1,a_2,...,a_n$ ，求有多少个二元组 $(i,j)$ 满足：

$1\le i,j\le n$
$i\neq j$
$|a_i-a_j|=\max_{1\le p,q\le n}(|a_p-a_q|)$

$1\le a_1,a_2,...,a_n\le 10^5$ 。

思路

如果所有的数都相等，那么答案就是 $n\times(n-1)$ 。

否则，答案是所有等于最小值的数量与最大值的数量之积的两倍。

代码

#include <stdio.h>
#include <algorithm>
using namespace std;
using LL=long long;
const int N=1e6+5;
int n,m,k;
int a[N];
LL solve()
{
	scanf("%d",&n);
	for (int i=1;i<=n;++i) scanf("%d",&a[i]);
	LL cnt1,cnt2;
	cnt1=cnt2=0;
	sort(a+1,a+1+n);
	if (a[1]==a[n]) return 1ll*n*(n-1);
	for (int i=1;i<=n;++i)
	{
		cnt1+=(a[i]==a[1]);
		cnt2+=(a[i]==a[n]);
	}
	return cnt1*cnt2*2;
}
int main()
{
	int T=1;
	scanf("%d",&T);
	while (T--) printf("%lld\n",solve());
	return 0;
}

B. Hossam and Friends

题目大意

有 $n$ 个人， $m$ 个关系。其中第 $i$ 个关系 $(x_i,y_i)$ 表示 $x_i$ 和 $y_i$ 不是朋友。除了题目中说明的 $m$ 对人不是朋友之外，其他人两两之间都是朋友。

求有多少个区间 $1\le a\le b\le n$ ，满足从第 $a$ 个人到第 $b$ 个人，这 $b-a+1$ 个人两两都是朋友。

思路

我们从 $1$ 到 $n$ 枚举 $b$ ，对每个 $b$ 的取值分别求有多少个合法的 $a$ 。

有多少个合法的 $a$ 应该怎么求呢？
合法的区间显然不能跨越任何一对给定的 $(x_i,y_i)$ ，所以对于第 $i$ 个关系式，如果 $y_i\le b$ ，那么合法的 $a$ 不能小于 $x_i+1$ 。当我们得到了 $a$ 可以取的最小值 $l$ ，那么右端点是 $b$ 的合法区间就有 $b-l+1$ 个

但是如果枚举输入的关系来求 $a$ 可以取的最小值，时间复杂度是 $O(n^2)$ ，考虑优化。

我们先对所有的关系按 $y$ 的值从小到大排序，将其放入队列中。一直维护一个 $l$ 表示 $a$ 最小的合法取值，最初 $l=1$ 。每枚举一个新的 $b$ ，我们都用如下方式试图对 $l$ 进行更新：

如果队列为空，则退出更新流程。
令 $head$ 表示队首元素，即 $head.x$ 表示队首元素的 $x$ 值。
如果 $head.y \le b$ ，则说明 $a$ 不应小于 $head.x+1$ ，更新 $l$ ，队首元素出队，跳转到步骤 1。
退出更新流程。

通过上述方式，我们保证了所有 $y$ 值不超过 $b$ 的关系都对 $a$ 的合法范围进行了更新。同时，每个 $b$ 可能的取值我们只会进行一次失败的比较，每个关系只会出队一次，所以时间复杂度为 $O(n)$ 。

代码

#include <stdio.h>
#include <algorithm>
using namespace std;
using LL=long long;
const int N=1e6+5;
struct asdf{
	int l,r;
	bool operator < (const asdf a) const
	{
		return r<a.r;
	}
}a[N];
int n,m,k;
LL solve()
{
	scanf("%d",&n);
	scanf("%d",&m);
	for (int i=1;i<=m;++i) 
		if (scanf("%d%d",&a[i].l,&a[i].r),a[i].l>a[i].r) 
			swap(a[i].l,a[i].r);
	sort(a+1,a+1+m);
	LL ans=0;
	for (int i=1,j=1,l=1;i<=n;++i)
	{
		while (j<=m&&a[j].r<=i) l=max(l,a[j++].l+1);
		ans+=i-l+1;
	}
	return ans;
}
int main()
{
	int T=1;
	scanf("%d",&T);
	while (T--) printf("%lld\n",solve());
	return 0;
}

题目大意

给定 $n$ 个正整数 $a_1,a_2,...,a_n$ ，判断是否存在二元组 $(i,j)$ 满足：

$1\le i,j \le n$ 。
$i\neq j$ 。
$gcd(a_i,a_j)\neq 1$ 。

数据范围如下图所示。

思路

把 $[1,\lfloor\sqrt{10^9}\rfloor]$ 范围内的质数筛出来，共有 $m<3500$ 个。

遍历 $1\le i\le n$ ，对 $a_i$ 进行质因数分解，将 $a_i$ 的质因数去重后加入到 $b$ 数组里。

如果 $b$ 数组中有重复的数字出现，即可输出 YES。

时间复杂度为 $O(nm)$

代码

#include <stdio.h>
#include <algorithm>
#include <math.h>
using namespace std;
using LL=long long;
const int N=1e6+5;
const int MAXX=31622;
int v[MAXX],p[MAXX],tot;
int a[N],b[N*15];
int n,m,k;
LL solve()
{
	tot=0;
	scanf("%d",&n);
	for (int i=1;i<=n;++i) scanf("%d",&a[i]);
	for (int i=1,flag;i<=n;++i)
	{
		flag=1;
		for (int j=1;j<=m&&p[j]*p[j]<=a[i];++j)
		{
			if (a[i]%p[j]!=0) continue;
			while (a[i]%p[j]==0) a[i]/=p[j];
			b[++tot]=p[j];
		}
		if (a[i]!=1) b[++tot]=a[i];
	}
	sort(b+1,b+1+tot);
	for (int i=2;i<=tot;++i)
		if (b[i]==b[i-1]) return 1;
	return 0;
}
int main()
{
	n=MAXX-1;
	for (int i=2;i<=n;++i)
	{
		if (!v[i]) p[++tot]=i;
		for (int j=1;j<=tot&&p[j]*i<=n;++j)
		{
			v[i*p[j]]=1;
			if (i%p[j]==0) break;
		}
	}
	m=tot;
	int T=1;
	scanf("%d",&T);
	while (T--) 
		if (solve()) printf("YES\n");
		else printf("NO\n");
	return 0;
}