数据在Bit的表示和计算

信息表达

进制转换

十进制转二进制

如何把十进制 142 转成二进制? 如下图：

不断将 142 除以 2 , 获取余数。除以 2 的次数越多，证明所得余数的位更高。

所以这里最后的 142 = 1 $\times$ 2 ⁷ + 0 $\times$ 2 ⁶ + 0 $\times$ 2 ⁵ + 0 $\times$ 2 ⁴ + 1 $\times$ 2 ³ + 1 $\times$ 2 ² + $\times$ 2 ¹ + 0 $\times$ 2 ⁰

最后得出 142₁₀ = 1000 1110₂。

这个不断除以2的过程就像将这个二进制不断右移，得到的余数就是每次右移截取的值。

十进制转十六进制

142 转换成十六进制的过程同理：

142 = 8 $\times$ 16 ¹ + 14 $\times$ 16 ⁰ = 0x8e。

数据大小

C语言不同类型在 32 或 64 位系统的字节大小 ：

字节顺序

0x1234567在大端法的表示 ：

在小端法的表示 ：

最高有效位在前面是大端法，在后面是小端法。
大多数兼容 Intel 机器都是用小端法。一些 Sun 和 Oracle 的服务器会用大端法。

布尔代数

异或相同的位为0

逻辑运算 ！&& 、|| ，注意和~ 、& 、| 的区别

移位操作

移位操作分为左移、逻辑右移和算术右移。

逻辑右移，左边补0。 算数右移左边补符号位。

整数

整数取值范围

C语言整数在 64 位系统中不同的取值范围 ：

32位系统long和unsigned long的取值范围会和int相同，其他的类型取值范围和64位一样。

可以通过limit.h获取各类型的取值范围：

SCHAR_MIN : 有符号位的char最小值
SCHAR_MAX : 有符号位的char最大值
CHAR_MIN : 无符号最小值
UCHAR_MAX : 无符号最大值
SHRT_MIN : 短整型最小值
SHRT_MAX : 短整型最大值
USHRT_MAX : 无符号短整型最大值
INT_MIN : 整形最小值
INT_MAX : 整形最大值
UINT_MAX : 无符号整形最大值
LONG_MIN : 长整型最小值
LONG_MAX : 长整型最大值
ULONG_MAX : 无符号长整形最大值

整数的编码

原码： 最高有效位为 1 时为负数。
反码： 因为原码的正数和负数相同不等于 0 ，所以让原码的负数除了符号位都取反。
补码： 补码是反码 + 1，是通常负数的表现形式。正数和补码负数相加会得到 0 （去掉超出有效位的1）。

补码1011表示为 -1 x 2³ + 0 x 2² + 1 x 2¹ + 0 x 2⁰ = -5

补码具有不对称性，T_Min$\omega$的负数还是T_Min$\omega$。因为正数比负数多一个0。

补码转无符号数

T2U₁₆(-12,345) = -12,345 + 2¹⁶ = 53,191

无符号转补码

扩展位

无符号扩展： 高位添加 0 即可。
补码扩展： 高位按符号位拓展。 如 1010 = -6， 拓展4位 1111 1010 = -6。

截断位

整体右移 $\kappa$ 位，左边补0。无符号值转换为mod 2 ^$\kappa$, 对 2 ^$\kappa$ 的取模。有符号值先转换成无符号值取模后进行U2T_$\kappa$计算。

符号转换的注意事项

a. 在4位运算中5 + 13可以转换为5 - 3。对计算机来说13和-3的位是一样的，没有符号之分。
b. 给一个无符号参数传负值时会转换成一个很大的正整数。
c. 无符号数b > 无符号数a时， a - b的结果负数会转换成正数。
d. 有符号数和无符号数比较时（<、>、==）会转换成无符号数。

整数运算

加法

无符号加法：

补码加法：

求非（负）

补码求非（负）：

补码求非的两种办法:
a. 取反加一。
b. 假设最右边的1位置是 $\kappa$, 把所有$\kappa$ 的左边位置取反。

例如：

值	补码	非	补码
5	0101	-5	1011
7	0111	-7	1001
-4	1100	4	0100
0	0000	0	0000
8	1000	-8	1000

乘法

无符号乘法：

补码的乘法：

乘以常数

乘法指令需要10多个指令周期，而加法只需要1个指令周期。因此会把乘以常数转变为加减法和移位的组合。

移位组合有两种形式：
a. ( x << n ) + ( x << ( n - 1 ) ) + ( x << m )
b. ( x << ( n + 1 ) ) - ( x << m )

例子：
求 x $\times$ 14
a. x $\times$ ( 2³ + 2² + 2¹ ) = ( x >> 3 ) + ( x >> 2 ) + ( x >> 1 )
b. x $\times$ ( 2⁴ - 2¹ ) = ( x >> 4 ) - ( x >> 1 )

补码乘法计算

如 -3 $\times$ 3：

如红色标记左边（高位）补符号位。

两个都为负数如-3 $\times$ -5：

截掉两个最高位，因为 n 位乘以 n 位，结果是 n + n 位，所以这里保留 8 位结果。左边还是要补符号位，特别的是最后一个乘积不是1101，而是1101的补码0011（双负数时）。

除法

对于除以 2 的幂，无符号数除法使用逻辑右移，补码使用算数右移。

补码的负数右移时，会向下舍入，而不是向零舍入：

比如这里k = 8 时，取整正确应该是 -48，但是这里返回是 -49。

要向0舍入，那么负数要添加一个偏移值（2^k - 1）再进行移位。所以有以下表达式：
( x < 0 ? x + ( 1 << k ) - 1 : x ) >> k

除法无法像乘法一样，通过右移推广到任意的常数。

那如何计算如 26 $\div$ 5 ? 如下图：

整数的测试

问题： 由整数 x、 y 和无符号整数 ux ,以下式子是否成立 ?
a.  x < 0  =>  (( x $\times$ 2 ) < 0 )
b.  ux >= 0
c.  x & 7 == 7  =>  ( x << 30 ) < 0
d.  ux > -1
e.  x > y  =>  - x < - y
f.  x $\times$ x >= 0
g.  x > 0 && y > 0  =>  x + y > 0
h.  x >= 0  =>  -x <= 0
i.  x <= 0  =>  -x >= 0
j.  ( x | -x ) >> 31 == -1

解：
a. 错， x = TMin 时 2x = 0。 b. 对
c. 对， 11000...， 是个负数
d. 错， -1为111...， 用不为真
e. 错, y为TMin时， -y也为TMin
f. 错， 正溢出为负
g. 错， 溢出为 0 或负数
h. 对
i. 错，TMin的负还是TMin
j, 错，为 0 ，010 为 0

浮点数

二进制小数

定点法表现形式：

这种形式通常用来表达很大的数，或者接近 0 的数比较有效。

例子：

101.11 = 1 $\times$ 2² + 1 $\times$ 2¹ + 1 $\times$ 2⁰ + 1 $\times$ 2^-1 + 1 $\times$ 2^-2 = 5${3 \over 4}$

所以有一些浮点数无法精确表达，如${1 \over 3}$ 、${1 \over 5}$、${1 \over 7}$。只能表达形如 x $\times$ 2^y形式的数。

这些数在有限位的形式下近似替代，如 ${51 \over 265}$ 来近似替代 ${1 \over 5}$ 。

IEEE浮点数

定点法无法有效很好表达非常大的数，如5 * 2¹⁰⁰, 定点法要在 101 后面加 100 位 0。

IEEE浮点数表现形式：
V = ( -1 )^s $\times$ M $\times$ 2^E
s 表示符号位
M 表示小数位，单精度是0 ~ 22位（一共23位），64位是0 ~ 51位（一共52位）
E 表示阶码, 用于对浮点数加权，权重是2的E幂（E可能是负数）。e 在单精度是23 ~ 30位（一共8位），在双精度是52 ~ 62位（一共11位）。

浮点数数值的三种分类，以单精度为例：

Bias单精度为 127，双精度为 1023。

例子：
如何表示 float F = 15213.0 ?

1. 将十进制转换成二进制
   15213 ₁₀ = 11 1011 0110 1101 ₂ = 1.1 1011 0110 1101 ₂ * 2¹³

  根据公式 V = ( -1 )^s x M x 2^E

2. 小数部分有
   M = 1.1 1011 0110 1101
   f = 110 1101 1011 0100 0000 0000

3. 阶码部分有
   E = 13
   单精度Bias = 127, 所以 e = 140 = 1000 1100 ₂

4. 所以浮点表示的值为：
   

浮点数的舍入

浮点数默认的舍入规则是四舍六入五向偶数舍入 ( 0也偶数 )。

例如：
1.2349999 舍入到 1.23
1.2350001 舍入到 1.24
1.2350000 舍入到 1.24
1.2450000 舍入到 1.24

这个舍入方式也能运用到二进制数中。
2 ${2 \over 32}$ = 10. 00011 向下舍入到 10.00
2 ${3 \over 16}$ = 10. 00110 向上舍入到 10.01
2 ${7 \over 8}$ = 10. 11110 向上舍入到 11.00
2 ${5 \over 8}$ = 10. 10100 向偶舍入到 10.10

XX.YY100 ₂ 假如最有的 Y 是要舍入的位置。100 ₂ 是中间值向偶舍入，大于这个值会向上舍入，小于这个值会向下舍入。

加法和乘法与阿贝尔群的区别

加法

1. 满足交换律。 如 a + b = b + a
2. 不满足结合律， a + ( b + c ) != ( a + b ) + c。 如 ( 3.14 + 1e10 ) - 1e10 = 0, 3.14 + ( 1e10 - 1e10 ) = 3.14。
3. 几乎满足逆元 a - a = 0, 除了 Infinities 和 NaN。
4. a >= b, 无法推导出 a + c >= b + c。 假如 a 是个很大的数可能产生正溢出。

乘法

1. 满足交换律。 a * b = b * a。
2. 不满足结合律 （ 1e10 $\times$ 1e20）$\times$ 1e-20 = Infinities， 1e20 $\times$ ( 1e20 $\times$ 1e-20 ) = 1e20。

类型转换

1. int（32位）转换成float不会溢出，但是会舍入。
2. int 和 float 转换成 double时可以精准表示。
3. double 转换成 float时，大的数可能溢出成 +$\infty$ 或 -$\infty$, 还可能被舍入。
4. float 和 double转换成 int 时，向 0 舍入。还可能值溢出由正数变为负数。

检测测试
问题： 有 int x 、 float f 、double d, 判断以下式子是否推导正确

a.  x == ( int )( float ) x
b.  x == ( int )( double ) x
c.  f == ( float )( double ) f
d.  d == ( double )( float ) d
e.  f == - ( -f )
f.  ${2 \over 3}$ == ${2 \over 3.0}$
g.  d < 0.0  =>  ( (d * 2) < 0.0 )
h.  d > f  =>  -f > -d
i.  d $\times$ d >= 0.0
j.  (d + f) - d >= 0.0

解：
a. 错，精度丢失
b. 对
c. 对
d. 错，精度丢失和溢出问题
e. 对
f. 错， ${2 \over 3}$ 舍入位 0
g. 对， 即使溢出，正负也只是由符号位觉得
h. 对， 浮点数满足单调性
i. 对 j. 错，不满足结合律

二进制的奇淫巧计

参考资料

《Computer Systems A Programmer’s Perspective》 —— Randal E. Bryant、David R. O’Hallaron