一维前缀和

1).模板介绍

S[i] = a[1] + a[2] + ... a[i]
a[l] + ... + a[r] = S[r] - S[l - 1]

2)模板详解

不理解为什么是l-1的读者，可以画下图，或者用两个式子计算很好理解

S[3]=a[1]+a[2]+a[3]
S[2]=a[1]+a[2]
s[1]=a[1]
求3到2的位置  
如果S[3]-S[2]=a[1] 就掉了a[2]这个边界
所以是 S[3]-S[2-1]=a[2]+a[3]

前缀和的作用

能够快速求出某个区间的和

且注意原数组的下标从1开始计算，原因看下例题解释

3)练手例题

795. 前缀和 - AcWing题库

输入格式

第一行包含两个整数 nn 和 mm。

第二行包含 nn 个整数，表示整数数列。

接下来 mm 行，每行包含两个整数 ll 和 rr，表示一个询问的区间范围。

输出格式

共 mm 行，每行输出一个询问的结果。

数据范围

1≤l≤r≤n1≤l≤r≤n, 1≤n,m≤1000001≤n,m≤100000, −1000≤数列中元素的值≤1000

#include<iostream>
#include<vector>
using namespace std;
//根据题目的范围  定义一个常量
const int MAX=1e6+10;
int a[MAX],b[MAX];
int main()
{
    int n,m;
    cin>>n>>m;
    int temp=0;
    //下标从1开始算，a[0]，数组没有初始化默认为0
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        cin>>a[i];
        //一维前缀和的初始化较为简单，就是前一位的前缀和+当前位的数
        b[i]=b[i-1]+a[i];
        
        //如下是不知道前缀和的初始化方法
        //temp+=a[i];
        //b[i]=temp;
    }
    while(m--)
    {
        int l,r;
        cin>>l>>r;
        cout<<b[r]-b[l-1]<<endl;
    }
}

二维前缀和

1）模板介绍

S[i, j] = 第i行j列格子左上部分所有元素的和
以(x1, y1)为左上角，(x2, y2)为右下角的子矩阵的和为：
S[x2, y2] - S[x1 - 1, y2] - S[x2, y1 - 1] + S[x1 - 1, y1 - 1]

二维前缀和的初始化
B[i][j]=B[i-1][j]+B[i][j-1]-B[i-1][j-1]+A[i][j];

2 )模板详解

1）首先明白二维前缀和数组的意思,B[i][j]的意思从左上角[1][1]的位置到[i][j]位置的所有数之和 (前缀和下标都从1开始)

红色部分便是B[i][j]

2)那么初始化其实和求区间的意思很像

B[i-1][j]+B[i][j-1]-B[i-1][j-1]+A[i][j]=B[i][j];
竖着的黄色部分+横着的黄色部分-多加上的蓝色部分+右下角的数(图不代表实际情况，
右下角其实是一个点 数字）=上面红色部分

反过来，如果求右下角的红色部分，那么步骤就逆序的了，读者看了图后应该很清晰

3）练手例题

796. 子矩阵的和 - AcWing题库

输入一个 nn 行 mm 列的整数矩阵，再输入 qq 个询问，每个询问包含四个整数 x1,y1,x2,y2x1,y1,x2,y2，表示一个子矩阵的左上角坐标和右下角坐标。

对于每个询问输出子矩阵中所有数的和。

输入格式

第一行包含三个整数 n，m，qn，m，q。

接下来 nn 行，每行包含 mm 个整数，表示整数矩阵。

接下来 qq 行，每行包含四个整数 x1,y1,x2,y2x1,y1,x2,y2，表示一组询问。

输出格式

共 qq 行，每行输出一个询问的结果。

数据范围

1≤n,m≤10001≤n,m≤1000, 1≤q≤2000001≤q≤200000, 1≤x1≤x2≤n1≤x1≤x2≤n, 1≤y1≤y2≤m1≤y1≤y2≤m, −1000≤矩阵内元素的值≤1000

#include<iostream>
using namespace std;
//MAX写成 10010 导致最后一个例子没过，超时了，所以这就是初始化的注意点，不能过大也不能过小
const int MAX=1010;
int n,m,q;
int A[MAX][MAX],B[MAX][MAX];
int main()
{
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&q);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=m;j++)
        {
            scanf("%d",&A[i][j]);
            //初始化即可
            B[i][j]=B[i-1][j]+B[i][j-1]-B[i-1][j-1]+A[i][j];
        }
    }
    while(q--)
    {
        int x1,x2,y1,y2;
        scanf("%d%d%d%d",&x1,&y1,&x2,&y2);
        printf("%d\n",B[x2][y2]-B[x1-1][y2]-B[x2][y1-1]+B[x1-1][y1-1]);
    }
return 0;
}

小白学算法之前缀和篇

一维前缀和

输入格式

输出格式

数据范围

二维前缀和

输入格式

输出格式

数据范围