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💖 系列专栏：数据结构与算法
🌠 首发时间：2022年12月7日
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散列表

散列表（$Hash \ Table$），又称哈希表，是一种数据结构，特点是：数据元素的关键字与其存储地址直接相关

那么我们如何建立 “关键字” 与 “存储地址” 之间的联系呢？ —— 通过 “散列函数”（哈希函数）：$Addr = H(key)$

若不同的关键字通过散列函数映射到同一个值，则称它们为 “同义词”；通过散列函数确定的位置已经存放了其他元素，则称这种情况为 “冲突”

那我们怎么解决 “冲突” 呢？ —— 用拉链法（又称链接法、链地址法）处理 “冲突”：把所有 “同义词” 存储在一个链表中

例子：有一堆元素，关键字分别为 $\{19, 14, 23,1, 68, 20, 84, 27, 55, 11, 10, 79\}$，散列函数为 $H(key) = key \% 13$

那么我们可以得到它的存储图示为：

查找长度 —— 在查找运算中，需要对比关键字的次数称为查找长度

所以上图中查找成功的平均查找长度为 $ASL = \frac{1 \times 6 + 2 \times 4 + 3 + 4}{12} = 1.75$

当我们的散列函数设计得足够好时，我们就可以得到最理想的情况，也就是当所有关键字都没有同义词的时候，散列查找时间复杂度可达到 $O(1)$

上图查找失败的平均查找长度为 $ASL = \frac{0 + 4 + 0 + 2 + 0 + 0 + 2 + 1 + 0 + 0 + 2 + 1 + 0}{13} = 0.92$

下面我们认识一个新的概念：装填因子 $\alpha =$ 表中记录数 $/$ 散列表长度，也就是前面的 $0.92$ ；装填因子会直接影响散列表的查找效率

常见的散列函数

① 除留余数法 —— $H(key) = key \ \% \ p$

散列表表长为 $m$，取一个不大于 $m$ 但最接近或等于 $m$ 的质数 $p$

② 直接定址法 —— $H(key) = key$ 或 $H(key) = a \times key + b$

其中，$a$ 和 $b$ 是常数。这种方法计算最简单，且不会产生冲突。它适合关键字的分布基本连续的情况，若关键字分布不连续，空位极多，则会造成存储空间的浪费

③ 数字分析法 —— 选取数码分布较为均匀的若干位作为散列地址

设关键字是 $r$ 进制数（如十进制数），而 $r$ 个数码在各位上出现的频率不一定相同，可能在某些位置上分布均匀一些，各种数码出现的机会均等；而在某些位上分布不均匀，只有某几种数码经常出现，此时可选取数据分布较为均匀的若干位作为散列地址。这种方法适用于已知的关键字集合，若更换了关键字，则需要重新构造新的散列函数

④ 平方取中法 —— 取关键字的平方值的中间几位作为散列地址

具体取多少位要视实际情况而定。这种方法得到的散列地址与关键字的每位都有关系，因此使得散列地址比较均匀，适用于关键字的每位取值都不够均匀或均小于散列地址所需的位数

散列表是典型的 “用空间换时间” 的算法，只要散列函数设计得合理，则散列表越长，冲突的概率越低

开放定址法

所谓开放定址法，是指可存放新表项的空闲地址既向它的同义词表项开放，又向它的非同义词表项开放。其数学递推公式为：

$i = 0, 1, 2, ..., k \ (k \leq m- 1)$，$m$ 表示散列表表长，$d_i$ 为增量序列，$i$ 可理解为 “第 $i$ 次发生冲突”

想要确定增量序列 $d_i$，我们需要学习下面 $3$ 种方法

① 线性探测法 —— $d_i = 0, 1, 2, 3, ..., m - 1$；即发生冲突时，每次往后探测相邻的下一个单元是否为空

例子：有一堆元素，关键字分别为 $\{19, 14, 23,1, 68, 20, 84, 27, 55, 11, 10, 79\}$，散列函数为 $H(key) = key \ \% \ 13$，假设散列表表长为 $16$

上面的例子用线性探测法来处理，如下图所示：

这个例子需要注意：

• 散列函数的值域为 $[0, 12]$
• 冲突处理函数值域为 $[0, 15]$
• 查找时，按照线性探测法进行定位，找不到再一个个往后找，要把空位置的判断也算作一次比较

采用 “开放定址法” 时，删除结点不能简单地将被删结点的空间置为空，否则将截断在它之后填入散列表的同义词结点的查找路径，可以做一个 “删除标记”，进行逻辑删除

查找成功的平均查找长度为 $ASL = \frac{1 + 1 + 1 + 2 + 4 + 1 + 1 + 3 + 3 + 1 + 3 + 9}{12} = 2.5$

查找失败的平均查找长度为 $ASL = \frac{1 + 13 + 12 + 11 + 10 + 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2}{13} = 7$

线性探测法很容易造成同义词、非同义词的 “聚集（堆积）” 现象，严重影响查找效率

② 平方探测法 —— 当 $d_i = 0^2, 1^2, -1^2, 2^2, -2^2, ..., k^2, -k^2$ 时，称为平方探测法，又称二次探测法，其中 $k \leq m/2$

例子：有一堆元素，关键字分别为 $\{6, 19, 32, 45, 58, 71, 84\}$，散列函数为 $H(key) = key \ \% \ 13$，假设散列表表长为 $27$，采用平方探测法处理冲突

平方探测法比起线性探测法更不易产生 “聚集（堆积）” 问题

需要注意，如果你采用平方探测法来处理冲突，那么散列表的长度 $m$ 必须是一个可以表示成 $4j + 3$ 的素数，才能探测到所有位置

③ 伪随机序列法 —— $d_i$ 是一个伪随机序列，如 $d_i = 0, 5, 24, 11, ...$

再散列法

再散列法（再哈希法）：除了原始的散列函数 $H(key)$ 之外，多准备几个散列函数，当散列函数冲突时，用下一个散列函数计算一个新地址，直到不冲突为止：