算法初探LeetCode-零钱兑换

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LeetCode322：零钱兑换

给你一个整数数组 coins ，表示不同面额的硬币；以及一个整数 amount ，表示总金额。

计算并返回可以凑成总金额所需的 最少的硬币个数 。如果没有任何一种硬币组合能组成总金额，返回 -1 。

你可以认为每种硬币的数量是无限的。 示例 1：

输入： coins = [1, 2, 5], amount = 11
输出： 3 
解释： 11 = 5 + 5 + 1

示例 2：

输入： coins = [2], amount = 3
输出： -1

示例 3：

输入： coins = [1], amount = 0
输出： 0

提示：

• 1 <= coins.length <= 12
• $1 <= coins[i] <= 2^31 - 1$
• $0 <= amount <= 10^4$

思路分析

解法一： 设f(i, j)为用前i种硬币，凑出总额j所需要的最少硬币数目。那么，对于硬币[i]，面临的选择就是，可以选0个，1个，或者k个： f(i, j) = min{f(i-1, j - k*[i]) + k}，其中i = [0, n-1], j=[1, amount], k =[0, j/[i]]

f(i, 0) = 0 f(0, j) = -1，可以用一个特殊变量来标识。

解法二： 以背包容量为主，设f(i)是凑够额度为i所需要的最少硬币数目。那么，f(amount)就是问题的解。 为了凑够i，若添加一枚coins[0]的硬币，就够了，这就是f(i - coins[0]) + 1，由此可得状态转移方程：

f(i) = min{f(i - coins[j]) + 1}， 其中i = [1, amount], j = [0, n - 1]，而且[j] <= i。 且f(0) = 0。

算法代码

解法一：

public int coinChange(int[] coins, int amount) {
    int[] coinAmounts = new int[amount + 1];
    Arrays.fill(coinAmounts, amount + 1);
    coinAmounts[0] = 0;
    for (int i = 0; i < coins.length; i++) {
        for (int j = amount; j > 0; j--) {
            for (int k = 1; k * coins[i] <= j; k++) {
                coinAmounts[j] = Math.min(coinAmounts[j], coinAmounts[j - k * coins[i]] + k);
            }
        }
    }
    return coinAmounts[amount] > amount ? -1 : coinAmounts[amount];
}

解法二：

public int coinChange(int[] coins, int amount) {
    int[] coinAmounts = new int[amount + 1];
    Arrays.fill(coinAmounts, amount + 1);
    coinAmounts[0] = 0;
    for (int i = 1; i <= amount; i++) {
        for (int j = 0; j < coins.length; j++) {
            if (coins[j] <= i) {
                coinAmounts[i] = Math.min(coinAmounts[i], coinAmounts[i - coins[j]] + 1);
            }
        }
    }
    return coinAmounts[amount] > amount ? -1 : coinAmounts[amount];
}

算法复杂度

• 时间复杂度：$O(n)$
• 空间复杂度：$O(1)$

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