题目描述 - 计数质数
给定整数 n ，返回 所有小于非负整数 n 的质数的数量 。
质数的定义：在大于 1 的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数。即，除了 1 和 它本身不能被任何数整除。
示例：
- 输入:
输入 n = 10，输出: 4，解释：小于 10 的质数一共有 4 个, 它们是 2, 3, 5, 7 。
思路分析
遍历枚举
对于小于 n 的区间 【2, n - 1】 内每一个数 n 进行判断，是否存在能被 n 整数的数。如果存在，则 n 不是质数。如果不存在，则 n 是质数。
在遍历的同时，我们维护一个用于统计小于 n 的质数数量的变量 count 。如果符合要求，则将计数 count 加 1 ，最终返回该数目作为答案。
代码实现：
/**
* @param {number} n
* @return {number}
*/
var countPrimes = function(n) {
let count = 0;
function isPrime(num){
if(num == 0) return false
if(num == 1 || num == 2) return true
let flag = true
for(let i=2; i<num; i++){
// num % i===0 则 存在整除 非质数 等价于 !(num % i)
if(!(num % i)) {
flag = false;
break ;
}
}
return flag
}
for(let i=2; i<n; i++){
if(isPrime(i)) count++
}
return count
};
上述代码虽然实现了质数的计数，但是在 leetCode 运行之后，会提示超时，因此我们需要进行优化。我们分析 4～8 的因式分解过程如下：
- 4: 1 * 4 sqrt(4) * sqrt(4) = 2 * 2 4 * 1
- 5: 1 * 5 sqrt(5) * sqrt(5) 5 * 1
- 6: 1 * 6 2 * 3 sqrt(6) * sqrt(6) 3 * 2 2 * 1
- 7：1 * 7 sqrt(7) * sqrt(7) 7 * 1
- 8：1 * 8 2 * 4 sqrt(8) * sqrt(8) 4 * 2 8 * 1
合数和质数的sqrt前后因式一样。以sqrt为界，只要能被前面数整除，该数不是质数。优化代码如下：
/**
* @param {number} n
* @return {number}
*/
var countPrimes = function(n) {
let count = 0;
function isZhi(num){
if(num == 0) return false
if(num == 1 || num == 2) return true
let flag = true
for(let i=2; i<=Math.sqrt(num); i++){
if(!(num % i)) {
flag = false;
break ;
}
}
return flag
}
for(let i=2; i<n; i++){
if(isZhi(i)) count++
}
return count
};
埃氏筛法
这种方法是由古希腊数学家埃拉托斯尼斯提出的，其基本原理为：质数 的倍数是 合数 。那么 n 之内，从 2 开始，找到质数则计数加 1， 且顺序标记质数的倍数为合数。
实现步骤如下：
- 使用长度为 n 的数组 isPrime 来判断一个数是否是质数。如果 isPrime[i] == True ，则表示 i 是质数，如果 isPrime[i] == False，则表示 i 不是质数。使用变量 count 标记质数个数。
- 从 【2, n - 1】 的第一个质数（数字 2） 开始，count 加 1，并将该质数在 [2, n - 1] 范围内所有倍数（即 4、6、8、…）都标记为非质数。
- 然后根据数组 isPrime 中的信息，找到下一个没有标记为非质数的质数（即数字 3），count 加 1，然后将该质数在 【2, n - 1】 范围内的所有倍数（即 6、9、12、…）都标记为非质数。
- 以此类推，直到所有小于或等于 n - 1 的质数和质数的倍数都标记完毕时，输出 count。
代码实现：
/**
* @param {number} n
* @return {number}
*/
var countPrimes = function(n) {
let count = 0;
let isPrime = Array(n).fill(true);
for(let i = 2; i < n; i++)
if(isPrime[i]) {
count++
// 标记 i 的倍数为合数
for(var j = 2 * i; j < n; j += i) isPrime[j] = false
}
return count
};
