一、为什么学习变换
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模型变换：
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translation 移动
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scale 缩放
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rotation 旋转
-
-
光栅化成像，从三维空间到二维平面——投影。
二、 2D 变换
2.1 Scale 缩放
2.2 Reflection 反转
2.3 Shear 切变
观察可知，y值不变，x可根据相似三角形推出x'=a*y
- x'=x+ay
- y'=y
2.4 Rotate 旋转
- 默认原点为中心，逆时针(CCW)旋转
- 推导过程：
- 如图所示“ABCD矩阵”为所求矩阵
- 代入特殊点,（1，0）->(cosθ,sinθ),得到A=Cosθ,C=Sinθ
- 与2同理，取特殊点（0，1）->(-sinθ,cosθ),得到B= -sinθ，D=cosθ
- 综上,将A、B、C、D代入上述矩阵，可得：
- 如图所示“ABCD矩阵”为所求矩阵
旋转的性质：
- 应用：旋转的转置等于旋转的逆，如果我们相求一个旋转操作的逆操作，即往相反方向旋转，可以求正向旋转矩阵的转置。
- 数学上，我们把逆与转置的矩阵成为正交矩阵
线性变换
Linear Transforms
定义：能够用一个矩阵乘以输入的坐标从而得到输出坐标，这种变换成为线性变换。
- x'可以写成a与b的线性组合
- y’可以写成c与d的线性组合
从而可以写成如上图的矩阵形式, 注意矩阵的维度与向量的维度相同（为后续引入齐次坐标铺垫）
前面的缩放（scale、反转(reflection)、切变(shear)、旋转(rotate)，都是类似形式，属于线性变换。
2.5 Translation 平移
非线性变换
无法写成上述统一的矩阵形式，特殊处理不利于计算，因此使用齐次坐标解决。
3.齐次坐标
Homogenous Coordinates
二维变换下，点、向量增加一个维度
- 2D点扩充第三维为1。（点平移后发生变化），点减点第三维为0，刚好与向量第三位符合。
- 2D向量扩充第三维为0。（ 因为向量具有平移不变性）
引入齐次坐标后，我们发现又可以将平移变换写成矩阵乘以向量的表现形式了。
point+poing结果为两点的中点，
- 因为：对于任何的点（x,y,w）可以通过整个点除以w得到（x/w,y/w,1）**,
- 所以：两个点相加：
4.仿射变换
仿射变换：线性变换+平移，可用齐次坐标表示
在齐次坐标下，abcd表示线性变换矩阵（缩放、反转、切变、旋转），tx和ty则表示平移变换（非线性变换），齐次坐标用一个矩阵统一了所有操作。
5、逆变换（逆矩阵）Inverse Transform
逆变换的数学形式表现为逆矩阵左乘向量/点：
(M^-1)*(x',y',w)
6、组合变换
目标
方法：
-
先平移后旋转（默认绕原点）
-
先旋转后平移
-
因此可知：
- 复杂的变化可以通过一系列简单变换得到。
- 变换的顺序十分重要，矩阵乘法不满足交换律。
应用变换矩阵，应从右往左计算（左乘），如下图先旋转45度得到M1，再平移得到M2
- 合成变换
矩阵具有结合律，对于一系列变换矩阵，可以先求这些矩阵相乘结果得到一个矩阵，再乘以向量，可以实现一个矩阵表示非常复杂的变换。
- 分解变换
example: 绕点C旋转
- 先把所有的点延着-c方向移动到原点
- 旋转a角度
- 把所有的点延着c方向移动
7、三维变换
由二维同理延伸
4x4矩阵表示，左上角3x3表示线性变换，tx,ty,tz表示平移。
- 顺序 ：与二维一致，先应用线性变换，再平移
缩放、平移
绕轴旋转
注意：第二个矩阵，正负号不同，是因为ZxX得到Y，而不是XxZ（右手螺旋定则）
旋转分解：
- α β γ分别对应roll pitch yaw（欧拉角）
罗德里格斯旋转公式：
- 旋转轴 n 是过原点的，也就是起点在原点上，方向是n这个方向，旋转角度为α
四元数：为了方便插值计算而设计
小结：
本节课从二维变换出发，介绍了缩放、反转、切变、旋转之线性变换，以及平移之非线性变换，为了统一表示及方便计算，通过增加一维的方式，引入了齐次坐标后，可以统一使用一个变换矩阵表示线性变换以及非线性变换，线性变换和非线性变换统称为仿射变换。 三维变换可由二维变换推广得到，原理相似。
注意：
- 齐次坐标矩阵表示变换的顺序，先应用线性变换，再应用非线性变换。
- 应用齐次坐标，可以对变换进行合成与分解，并且在介绍这一过程中，引入了罗德里格斯旋转公式
另外，阐述了变换的逆操作与矩阵的逆之间的关系，对于旋转矩阵，矩阵的转置等于矩阵逆，这也是正交矩阵的性质，可以通过求矩阵的转置来求矩阵的逆，从而进行变换的逆操作。
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