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1、写在前面

大家好，今天文章的内容是：

要存储一张图，除了保存各个顶点本身的数据信息之外，还需要存储顶点之间的关联信息，也就是边的信息，图中的两个顶点是否可达，是否有边等等，因此对于图结构来说，其存储结构是很重要的。

2、内容

图的邻接矩阵表示法如下：

假设现在有一个图 $G=(V, E)$ ，需要存储 $n$ 个顶点信息以及 $n^2$ 个边的信息，这时我们就可以用一个 $n×n$ 的二维数组来存储顶点之间的邻接关系，用一维数组来存储图的顶点数据信息。这就是图的邻接矩阵表示法。

在无向图的邻接矩阵中，第 $i$ 行（或者第 $i$ 列）上的非零元素的个数就是顶点 $V_i$ 的度，也就表示着这两个顶点之间存在一条边。

举一个例子：

从上图中我们可以发现，顶点A的有三条边，分别连接三个顶点：B、C、D。

那么在邻接矩阵的示意图中，对应的元素就是1，即表示这两个顶点之间有边，而如果没有边的话，比如顶点A和顶点E和F就没有边，此时对应的元素就为0。如下所示：

同时，因为无向图的边是没有方向的，这时A与B有边就意味着B与A有边，同样的道理，顶点C和D也一样。如下所示：

在有向图的邻接矩阵中，第 $i$ 行第 $i$ 列上的元素可表示顶点 $V_i$ 到 $V_j$ 是否存在边。如果存在一条边，则该元素为1，否则为0。

比如上图中，顶点A有两条边，分别指向顶点B和顶点D，因此在第1行的第2列和第4列上，元素就为1，其他元素则为0。

但需要注意，和无向图不同。在有向图中，顶点之间的边是有方向的。如上图所示，顶点A存在一条边，使得A指向B，但是并不存在一条边，使得顶点B指向A。

这里用一个一维数组来存储图的顶点数据信息，用一个二维数组来表示顶点之间的邻接关系。图的邻接矩阵表示是唯一的，含有 $n$ 个顶点的图，其邻接矩阵的空间代价是 $O(n^2)$ ，与图的顶点数有关，与边数无关。

在无向图中，第i个顶点的度就等于第i行（或第i列）的非零元素的个数。

和无向图不同，在有向图中，顶点的度分为出度和入度：

在之前我们讨论的都是没有权值的图。

而如果是带权图，其邻接矩阵有什么特点？

如上所示，在带权图中，我们需要在对应的位置上用这两个顶点之前的权值来表示。而用无穷来表示这两个顶点之间不存在边。因此带权图的代码实现，关键在于这个无穷标记该怎么表示。比如我们可以使用宏定义常量的方式来使用int类型的上限进而表示所谓无穷这个概念。当然这只是一个举例，具体还是得看自己怎么实现。

空间复杂度为 $O(v^2)$ ，也就是取决于顶点数的多少（和实际的边数无关）
适合应用于存储稠密图
由于无向图的邻接矩阵是对称矩阵，因此可以将元素存储在上三角区或下三角区。
设图 $G$ 的邻接矩阵为 $A$ （矩阵的元素为 $0$ 或 $1$ ），则 $A^n$ 的元素 $A^n[i][j]$ 表示从顶点 $i$ 到顶点 $j$ 的长度为 $n$ 的路径的数目。

好了，文章的内容就到这里，感谢观看。