深入探讨复杂度分析(时间复杂度和空间复杂度)上篇我们都知道，数据结构和算法本身解决的是“快”和“省”的问题，即如何让代码

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我们都知道，数据结构和算法本身解决的是“快”和“省”的问题，即如何让代码运行的更快，如何让代码更节省存储空间。所以执行效率是算法的一个重要的考量指标。那如何来衡量编写的算法代码的执行效率呢？就是通过时间、空间复杂度分析。

为什么需要复杂度分析？

也许会有这样的疑惑，我把代码跑一遍，通过统计、监控，就能得到算法执行的时间和占用的内存大小。为什么还要做时间、空间复杂度分析呢？而且这种分析方法能比我们实实在在跑一遍得到的数据更准确吗？

首先，可以肯定地说，你这种评估算法执行效率是正确的。很多数据结构和算法数据还给这种方法起了一个名字，叫事后统计法。但是这种统计方法有非常大的局限性。

1. 测试结果非常依赖测试环境

测试环境中硬件的不同会测试结果有很大的影响。比如我们拿同样一段代码，分别用Intel Core i3和Apple M1来运行，不用说，M1处理器要比Intel执行的速度快很多。还有，比如原本再这台机器上a代码执行速度比b代码更快，等我们换到另一台机器上的时候，可能结果截然相反。

2. 测试结果受数据规模影响很大

比如对于同一个排序算法，待排序数据的有序度不一样，排序执行的时间就会有很大的差别。极端情况下，如果数据已经是有序的，那排序算法不需要做任何的操作，执行时间就会非常短，除此之外，如果测试数据规模太小，测试结果可能无法真实地反映算法的性能。比如对于小规模的数据排序，插入排序可能反到会比快速排序要快！

所以，我们需要一个不同具体的测试数据来测试，就可以粗略估计算法的执行效率的方法--时间、空间复杂度分析法。

大O复杂度表示法

算法的执行效率，粗略的讲，就是算法代码执行的时间。但是，如何再不运行代码的情况下，一眼就看出代码的执行时间呢？

比如，一段简单的代码，求1,2,3...n的累加和。

#include <stdio.h>
int main()
{
  int sun = 0;
  int calculate(int n){
    for(int i = 1; i < n; i++) {
        sun += i;
    }
    return sun;
}
  int total = calculate(100);
  printf("值 = %d", sun);
}

从CPU的角度来看，这段代码的每一行执行着类似的操作，读数据-运算-写数据。尽管每行代码对应对应的CUP执行的个数、执行的时间都不一样，但是，我们只能大概估计，可以假设每行代码执行的时间都一样，为unit_time。在这个假设之上，这段代码的执行时间是多少呢？第4，5行代码需要一个unit_time的执行时间，第6,7行都需要执行n遍，所以需要2n unit_time的时间，所以这段代码总的执行时间就是(2n+2)*unit_time.可以看出，所有代码的执行时间T(n)与每行代码的执行次数成正比。

按照这个思路分析，可以再看一段代码：

int main()
{
  int sum = 0;
  int calculate(int n){
    for(int i = 1; i < n; i++) {
    int j= 1;
    for(j; j<n;j++) {
    sum = sum + i*j;
     }
    }
    return sum;
 }
  int total = calculate(100);
  printf("值 = %d", sum);
}

我们依旧假设每句代码执行的时间是unite_time。那这代码的总执行的时间T(n)是多少呢？

第3,,8,13行代码，每行需要一个unite_time执行时间，第5,6执行n边，需要2n*unit_time的执行时间，第7,8行执行了n²遍，多以需要2n² * unite_time的执行时间，所以总段代码的执行时间大于T(n) = (2n² + 2n +3) *unit_time.

尽管我们无法确定unit_time的具体值，但是通过这两段代码执行时间推导过程，我们可以得到一个非常重要的规律，那就是：所有代码执行时间T(n)与每行代码执行次数f(n)成正比。

由此我们可以把这个规律总结成一个公式，就是大O。

T(n) = O(f(n))

具体解释这个公式。其中T(n)它表示代码执行的时间；n表示数据规模大小；f(n)表示每行代码执行次数的总和。因为这一个公式，所以用f(n)来表示。公式中的O，表示代码执行时间T(n)与f(n)表达式成正比。

所以第一个例子中的T(n) = O(2n+2)，第二个例子中的T(n) = O(2n²+2n+3)。这就是大O时间复杂度表示法。大O时间复杂度实际上并不代表代码正在的执行时间，而是表示代码执行时间随着数据规模的增长的变化趋势，所以，也叫渐进时间复杂度(asymptotic time complexity ) 。简称时间复杂度。

当n很大时，你可以想象成万，百万。而公式中的低阶、常量、系数三部分并不左右正常趋势，所以可以忽略。只要记录一个最大量级就可以了，如果用大O表示法表示刚刚说过的那两段代码，就可以记为：T(n) = O(n);T(n) = O(n²)。

时间复杂度分析

刚刚说完了大O时间复杂度的由来和表示方法。现在接着来判断如果分析时间复杂度？有三个比较实用的方法：

1. 只关注循环执行次数最多的一段代码

刚刚有说，大O这种复杂度表示方法只是表示一种变化趋势。我们通常会忽略公式中的常量、低阶、系数，只需要记录一个最大阶的量级就可以了。所以，我们再分析一个算法，一段代码时间复杂度的时候，也只关注循环执行次数最多的那一段代码就可以了。 这段核心代码执行次数的n的量级，就是整段代码的时间复杂度。

还拿前面这段代码举例：

1. #include <stdio.h>
2. int main()
3. {
4. int sum = 0;
5.  int calculate(int n){
6.    for(int i = 1; i < n; i++) {
7.       sum += i;
8.    }
9.    return sum;
10. }
11. int total = calculate(100);
12. printf("值 = %d", sum);
}

其中第4、11行代码执行都是常量级的执行时间，与n的大小无关，所以对复杂度并没有影响。循环执行次数最多的是6、7行代码，所以对这块代码要重点分析。前面说过，这两行代码被执行n次，所以这段代码的时间复杂度就是O(n)。

2. 加法法则: 总复杂度等于量级最大的那段代码的复杂度

如下一段代码：

#include <stdio.h>
int main()
{
	int sum = 0;
	int p = 1;
	for (p; p < 100; p++) {
		sum = sum + p;
	}
	printf("值 = %d", sum);
	int sum2 = 0;
	int q = 1;
	for (q; q < n; q++){
		sum2 = sum2 + 1;
	}
	printf("值 = %d", sum2);
	int sum3 = 0;
	int i = 1;
	for (i; i <= n; i++){
		int j = 1;
		for (j; j<= n; j++){
			sum3 = sum3 + i*j;
		}
	}
	printf("值 = %d", sum2);
	printf("总和 = %d", (sum + sum2 + sum3));
}

这代码三部分，分别是求sum，sum2，sum3.可以分析每一部分的时间复杂度，然后把他们放到已开你，再取一个量级最大的作为整段代码的复杂度。

第一段代码执行了100次循环，所以是一个常量执行时间，跟n的规模无关。

这里做一个说明，即便这daunt代码循环了1000次，10000次，只要是一个已知的数，跟n无关，照样也是常量级的执行时间。当n无限大的时候，就可以忽略。尽管对代码的执行时间会有很大的影响，但是回到时间复杂度的概念来说，它表示的是一个算法执行效率与数据规模增长的变化趋势，所以不管常量执行时间多大，我们都可以忽略。因为它本身对增长趋势没有影响。

那第二段代码和第三段代码时间的复杂度呢？分别是O(n)和O(n²)。

综合这三段代码的时间复杂度，我们取其中最大的量级。所以，整段代码的时间复杂度为O(n²)。也就是说：总的时间复杂度就等于最大那段代码的时间复杂度。那么将这个规律抽象成公式就是：

如果 T1(n) = O(f(n)), T2(n) = O(g(n)); 那么T(n) = T1(n) + T2(n) = max(O(f(n)),O(g(n))) = O(max(f(n),g(n)))。

3. 乘法法则：嵌套代码的复杂度等于嵌套内外代码复杂度的乘积

类比上面可以做成这样一个公式：

如果T1(n) = O(f(n)), T2(n) = O(g(n));那么 T(n) = T1(n) * T2(n) = O(f(n))*O(g(n)) = O(f(n) * g(n))。

也就是说，假设T1(n) = O(n),T2(n) = O(n²)，则T1(n) * T2(n) = O(n³) .

具体到代码上，我们可以把乘法法则看成嵌套循环，比如：

#include <stdio.h>
int main()
{
  int sum = 0;
  int p = 1;
  for (p; p < n; p++) {
    sum = sum + cal(p);
  }
  int cal(int n) {
    printf("值 = %d", sum);
    int sum2 = 0;
    int q = 1;
    for (q; q < n; q++){
      sum2 = sum2 + 1;
    }
    return sum2;
  }
}

我们单独看第一个循环，那他的时间复杂度就是T1(n) = O(n).但是循环里还嵌套了一个循环，cal函数的时间复杂度T1(n) = O(n),所以整段代码的时间复杂度就是，T(n) = T1(n) * T2(n) = O(n * n) = O(n²)。

几种常见时间复杂度示例分析

虽然代码千差万别，但是常见的复杂化度量级并不多，可以分为以下几种。

复杂度量级（按数量级递增）
常量阶O(1)
对数阶O(logn)
线性对数阶O(nlogn)
指数阶O(2ⁿ)
阶乘阶O(n!)
平方阶（n²），立方阶O(n³).....a次方阶 O(nª)

这些罗列的复杂度量级，可以粗略的分为两类，多项式量级和非多项式量级。其中非多项式量级只有两个：指数阶O(2ⁿ)和阶乘阶O(n!)。

我们把时间复杂度为非多项式量级的算法叫做NP（Non-Deterministic Polynomial 非确定多项式）问题。

当数据规模n越来越大时候，非多项式量级算法的执行时间会急剧增加，求解问题的执行时间会无限加长。所以非多项式时间复杂度的算法其实是非常低效的算法。

1. O(1)

首先必须明确一个概念，O(1)只是常量级时间复杂度的一种表示方法，并不是只执行了一行代码，几遍有10行，它的时间复杂度也是O(1),而不是O(10).

int i  = 8;
int j = 6;
int sum =  i + j;

可以这样说，只要代码执行时间不随着n的增大而增大，这样代码时间复杂度我们都可以记作O(1).或者说，一般情况下，只要算法中不存在循环语句，递归语句，即使有成千上万行的代码，其时间复杂度也是O(1) 。

2. O(logn)、O(nlogn)

对数阶时间复杂度也比较常见，同时也是最难分析的一种时间复杂度，如下：

i = 1;
while (i <= n) {
    i = i * 2;
}

根据上面所诉，第三行代码是循环执行次数最多的。所以，我们只要能计算出这行代码被执行了多少次，就能知道整段代码的时间复杂度。

从代码中可以看出，变量i的值从1开始读取，每循环一次就乘以2，当大于n时，循环结束。类似中学时期的等比数列，实际上变量i的取值就是一个等比数列。如果我们把他一个个列出来，应该是这个样子：

2˚、 2¹、 2²、2³...2ª = n

所以我们只要知道a值是多少，就知道这行代码执行的次数了。通过 $2^x$ = n 求解，得到 x= $log_2n$ ,所以这段代码的复杂度就是O( $log_2n$ )。

那么如果变成下面的代码，那么时间复杂度是多少呢？

i = 1;
whilie (i <= n) {
  i = i *3;
}

由此可得出这段代码的时间复杂度为O( log_3 n ).

实际上，不管是以2为底，还是以3为底，还是其他数值，我们可以把所有对数阶的时间复杂度统一标记为O(logn)。为什么呢？

在数学关系里，对数之间是可以互相转换的， $log_3n$ 就等于 $log_32$ * $log_2n$ （对数换底公式）,所以O( $log_3n$ )= O(C* $log_2n$ ),其中C= $log_32$ 是一个常量。基于我们上面的一个理论，采用大O标记复杂度的时候，可以忽略系数，即O(Cf(n)) = O(f(n))。所以，O( $log_2n$ )就等于O( $log_3n$ ).因此，在数阶时间复杂度的表示方法里，我们忽略底数的底，统一表示为O(logn)。

如果了解了这部分，那O(nlogn)（线性对数阶）就容易理解了。前面的乘法原则，如果一段代码的时间复杂度是O(logn)，我们执行循环了n遍，时间复杂度就是O(nlogn)了。而且O(nlogn)也是一种常见的时间复杂度。比如归并排序、快速排序的时间复杂度都是O(nlogn) 。

3. O(m+n)、O(m*n)

再来看一种跟前面不一样的时间复杂度，代码的复杂度由两个数据的规模来决定，如下：

int calulate(int m, int n) {
	int sum = 0;
	int i = 1;
	for (i;i < m ; i++){
            sum = sum +i;
	}
	int sum2 =  0;
	int j = 1;
	for (j;j < n; j++){
            sum2 = sum2 + j;
	}
	return sum + sum2;
}

从代码可以看出，m和n是两个数据规模，我们无法评估m和n谁的量级更大，所以我们再表示复杂度的时候，就不能简单地利用加法法则，忽略掉其中一个。所以上面代码的时间复杂度就是O(m+n)。

针对这种情况，原来的加法法则就不正确了，我们需要讲加法法则改为：T1(m) + T2(n) = O((fm) + g(n)).但是乘法法则继续有效： T1（m）*T2(n) = O(f(m) * f(n))。

空间复杂度分析

上面我们花了很长的篇幅介绍时间复杂度分析，理解了上面的内容，空间复杂度分析起来就非常简单了。

上面说过，时间复杂度的全称是渐进时间复杂度，表示算法的执行时间与数据规模之间的增长关系。类比一下，空间复杂度的全称就是渐进空间复杂度（asymptotic space complexity, 表示算法的存储空间与数据规模之间的的增长关系。

比如我们那一段不太正确的代码来做解释：

1. void print(int) {
2. int i = 0;
3. int [] a = new int[n];
4. for (i; i< n; i ++){
5.   a[i] = i*i;
6.  }
7. for (i = n-1; i >= 0; i--) {
8.    print out a[i];
9.  }
10.}

跟时间复杂度分析一样，我们可以看到地2行代码中，我们申请了一个空间存储变量i，但是它是常量阶的，跟数据规模n没有关系，所以我们可以忽略。第3行申请了一个大小为n的int类型数组，除此之外，还剩下的代码都没有在占用更多的空间，所以整段代码的空间复杂度就是O(n) 。

我们常见的空间复杂度就是O(1)、O(n)、O(n²)，像O(logn)、O(nlogn)这样的对数阶复杂度平时都用不到。而且，空间复杂度分析比时间复杂度分析要简单很多。

内容总结

复杂度也叫渐进复杂度，包括时间复杂度和空间复杂度，用来分析算法执行的效率与数据规模之间的增长关系，可以粗略的概括，越是高阶复杂度的算法，执行效率越低。常见的复杂度并不多，从低阶到高阶有：O(1)、O(longn)、O(n)、O(nlogn)、O(n²) 。

深入探讨复杂度分析(时间复杂度和空间复杂度)上篇