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💖 系列专栏：数据结构与算法
🌠 首发时间：2022年12月4日
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查找

基本概念

查找 —— 在数据集合中寻找满足某种条件的数据元素的过程称为查找

查找表（查找结构） —— 用于查找的数据集合称为查找表，它由同一类型的数据元素（或记录）组成

关键字 —— 数据元素中唯一识别该元素的某个数据项的值，使用基于关键字的查找，查找结果应该是唯一的

对查找表的常见操作

1. 查找符合条件的数据元素
2. 插入、删除某个数据元素

只需进行操作 $1$ 的为静态查找表，我们只关注查找速度即可；

两种操作都要进行的为动态查找表，除了查找速度，我们也要关注插入或删除操作是否方便实现

查找算法的评价指标

查找长度 —— 在查找运算中，需要对比关键字的次数称为查找长度

平均查找长度（$ASL, Average \ Search \ Length$）—— 所有查找过程中进行关键字的比较次数的平均值

平均查找长度计算方式如下：

其中，$n$ 为数据元素的个数，$P_i$ 为查找第 $i$ 个元素的概率，$C_i$ 为查找第 $i$ 个元素的查找长度。通常情况下，默认查找任何一个元素的概率是相同的

$ASL$ 的数量级反映了查找算法的时间复杂度，评价一个查找算法的效率时，通常需要考虑查找成功和查找失败两种情况的 $ASL$

顺序查找

算法思想

顺序查找，又称为线性查找，通常用于线性表，线性表又分为顺序表和链表两种

算法思想：从头到尾一个个找，或者反过来也行

实现

第一种方法（常规）：

typedef struct{				//查找表的数据结构（顺序表）
	ElemType *elem;			//动态数组基址
	int TableLen;			//表的长度
}SSTable;

//顺序查找
int Search_Seq(SSTable ST, ElemType key) {
	int i;
	
	//当找到或者找完就会跳出循环
	for (i = 0; i < ST.TableLen && ST.elem[i] != key; ++i);
	
	//查找成功则返回元素下标；否则返回-1
	return i == ST.TableLen ? - 1 : i;	
}

第二种方法（哨兵）：

此时数据从下标为 $1$ 处开始存储，$0$ 处作为哨兵

typedef struct{				//查找表的数据结构（顺序表）
	ElemType *elem;			//动态数组基址
	int TableLen;			//表的长度
}SSTable;

//顺序查找
int Search_Seq(SSTable ST, ElemType key) {
	ST.elem[0] = key;		//将要查找的值存进 0 处
	int i;
	
	//从后遍历
	for (i = ST.TableLen; ST.elem[i] != key; --i);
	
	//查找成功则返回元素下标；否则返回0
	return i;	
}

优点：无需判断是否越界，效率更高

查找成功的 $ASL$：$\frac{1 + 2+3 + \cdots + n}{n} = \frac{n+1}{2}$

查找失败的 $ASL$：$n + 1$

顺序查找的优化（对有序表）

查找表中元素有序存放（递增 / 递减），例如 $7 \ 13 \ 19 \ 29 \ 37 \ 43$，当我们要找 $21$ 这个值时，一共有 $n+1$ 种查找失败的情况，此时查找失败的 $ASL$ 为 $\frac{1 + 2+3 + \cdots + n + n}{n+1} = \frac{n}{2} + \frac{n}{n+1}$

用查找判定树分析ASL

一个成功结点的查找长度 = 自身所在层数

一个失败结点的查找长度 = 其父节点所在层数

默认情况下，各种失败情况或成功情况都等概率发生

顺序查找的优化（被查概率不相等）

如果每个元素的被查概率不相等，我们可以将被查概率大的放在靠前位置，这样可以减小查找成功的 $ASL$

折半查找

算法思想

折半查找，又称为 “二分查找”，仅适用于有序的顺序表

实现

以下代码基于数据是存储在升序的顺序表

typedef struct{				//查找表的数据结构（顺序表）
	ElemType *elem;			//动态数组基址
	int TableLen;			//表的长度
}SSTable;

//折半查找
int Binary_Search(SSTable L, ElemType key) {
	int low = 0, high = L.TableLen - 1, mid;
	while (low <= high) {
		mid = (low + high) / 2;		//取中间位置
		if (L.elem[mid] == key) 
			return mid;				//查找成功返回所在位置
		else if (L.elem[mid] > key)
			high = mid - 1;			//中间值比查找值要大
		else 
			low = mid + 1;			//中间值比查找值要小
	}
	return -1;		//查找失败
}

查找效率分析

假设有如下顺序表：

经过折半查找，我们可以得到一个它的查找判定树：

注：绿色部分为查找成功，紫色部分为查找失败

成功的平均查找长度为：$(1 \times 1 + 2 \times 2 + 3 \times 4 + 4 \times 4) / 11 = 3$

失败的平均查找长度为：$(3 \times 4 + 4 \times 8) / 12 = 11/3$

折半查找判定树的构造

• 如果当前 $low$ 和 $high$ 之间有奇数个元素，则 $mid$ 分隔后，左右两部分元素个数相等

• 如果当前 $low$ 和 $high$ 之间有偶数个元素，则 $mid$ 分隔后，左半部分比右半部分少一个元素

基于以上两个结论，我们可以得到下面的推论：

• 折半查找的判定树中，若 $mid = \lfloor(low + high)/2 \rfloor$，则对于任何一个结点，必有 —— 右子树结点数 $-$ 左子树结点数 $= 0$ 或 $1$

所以我们可以得到 $1 \sim 16$ 个元素的折半查找判定树如下：

（注：图中的数字只是一个编号，不是值）

折半查找的判定树一定是平衡二叉树

折半查找判定树中，只有最下面一层是不满的，因此，元素个数为 $n$ 时树高 $h = \lceil log_2(n + 1)\rceil$（注：计算方法同 “完全二叉树”）

判定树结点关键字：左 < 中 < 右，满足二叉排序树的定义

若成功结点为 $n$ 个，则失败结点为 $n + 1$ 个（等于成功结点的空链域数量）

查找效率

树高 $h = \lceil log_2(n + 1)\rceil$

查找成功的 $ASL \leq h$，查找失败的 $ASL \leq h$

所以折半查找的时间复杂度为 $O(log_2n)$

分块查找

算法思想

如上图，下面是顺序表，上面是对应的索引表，索引表中保存了每个分块的最大关键字和分块的存储区间

特点：块内无序，块间有序

//索引表
typedef struct{
	ElemType maxValue;
	int low, high;
}Index;

//顺序表存储实际元素
ElemType List[100];

分块查找，又称为索引顺序查找，算法过程如下：

1. 在索引表中确定待查记录所属的分块（可顺序、可折半）
2. 在块内顺序查找

在进行折半查找所属分块时，如果索引表中不包含目标关键字，则折半查找索引表最终停在 $low > high$，这时候我们要在 $low$ 所指分块中查找

• 原因：最终 $low$ 左边一定小于目标关键字，$high$ 右边一定大于目标关键字，而分块存储的索引表中保存的是各个分块的最大关键字

查找效率分析

假设，长度为 $n$ 的查找表被均匀地分为 $b$ 块，每块 $s$ 个方块

设索引查找和块内查找的平均查找长度分别为 $l_I$、$L_s$，则分块查找的平均查找长度为

用顺序表查找索引表，则 $L_I = \frac{(1 + 2 + \dots + b)}{b} = \frac{b + 1}{2}$，$L_s = \frac{(1 + 2 + \dots + s)}{s} = \frac{s + 1}{2}$，那么 $ASL = \frac{b + 1}{2} + \frac{s + 1}{2} = \frac{s^2 + 2s + n}{2s}$，当 $s = \sqrt{n}$ 时，$ASL$ 最小，为 $\sqrt{n} + 1$

用折半查找查索引表，则 $L_I = \lceil log_2(b + 1) \rceil, L_s = \frac{(1 + 2 + \cdots + s)}{s} = \frac{s + 1}{2}$， 则 $ASL = \lceil log_2(b + 1) \rceil + \frac{s + 1}{2}$