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一、笛卡儿积
在学习前我们先了解第一元素和第二元素的概念，由两个元素x和y（允许x=y）按一定的顺序排列成的二元数组称作一个有序对（也称序偶）。记作<x,y>（也可记作（x,y））.其中x是它的第一元素，y是它的第二元素。
设A、B为集合，用A中元素为第一元素，B中元素为第二元素，构成有序对。所有这样的有序对组成的集合称作A和B的笛卡儿积，记作A*B。符号化为： A×B={(x,y)|x∈A∧y∈B} 。
笛卡儿积的性质：
1.对任意集合A，根据定义有
AxΦ =Φ , Φ xA=Φ
2.一般地说，笛卡****尔积运算不满足交换律，即
AxB≠BxA（当A≠Φ ∧B≠Φ∧A≠B时）
3.笛卡尔积运算不满足结合律，即
(AxB)xC≠Ax(BxC)（当A≠Φ ∧B≠Φ∧C≠Φ时)
4.笛卡尔积运算对并和交运算满足分配律，即
Ax(B∪C)=(AxB)∪(AxC)
(B∪C)xA=(BxA)∪**(CxA)
Ax(B∩C)=(AxB)∩(AxC)
(B∩C)xA=(BxA)∩(CxA)
二、二元关系
如果一个集合是空集或者它的元素都是有序对，则称这个集合是一个二元关系，一般记作R，如果<x,y>∈R，则记作xRy;如果<x,y>∉R，则记作x/Ry。
设A、B为集合，A*B的任何子集所定义的的二元关系称作从A到 B的二元关系，特别当A=B时，则称作A上的二元关系。
假设A有n个****元素，A^2有n^2个元素，每个元素可选可不选，故总共2^n^2种不同的二元关系。
对于任何集合A都有3种特殊的关系：空集，它是A*A 的子集，也是A上的关系，称作空关系，另外两种就是全域关系EA（全域关系的定义：{<x, y> | x∈A∧y∈A}=A×A为A上的全域关系。
例子：A={a,b,c}，则全域关系是A×A＝{<a,a>,<a,b>,<a,c>,<b,a>,<b,b>,<b,c>,<c,a>,<c,b>,<c,c>}）和恒等关系IA（设A={a,b,c}，则其上关系R={<a,a>,<b,b>,<c,c>}）。
除了以上3种特殊的关系之外，某些实数集上的小于等于关系和正整数集上的整除关也都是常用的关系.设A为实数集R的某个子集，则A上的小于等于关系定义为
LA={<x,y>|x,yЄА Λx≤y}.
B为正整数集Z+的某个子集，则B上的整除关系定义为
DB={<x,y>|x,y∈B∧x|y}.
例如，A={4,0.5,-1},B={1,2,3,6}，则
LA={<-1,-1>,,<-1,0.5>,<-1,4>,<0.5,0.5>,<0.5,4>,<4,4>}.
DB={<1,1>,<1,2>>,<1,>,<1,6>,<<1,3>,<1,6>,<2,2>,<2,6>,<3,3> ,<3, 6>, <6,6>}.
设A={a,b}, R是P（A）上的包含关系，
R ={<x,y>|x,y∈P(A)∧x≤y},
P(A)={Ø,{a},{b},A}.
R={<Ø,Ø>,<Ø,{a}>,<Ø,{b}>,<Ø,A>,<{a},{a}>,<{a},A>,<{b},{b}>,<{b},A><A,A>}.
以上内容就是关于笛卡儿积和二元关系的学习，后续会继续学习关系的运算。
