空间
欧几里得空间是向量空间中的一种。
欧几里得空间是点集：是起点为原点的向量集合
扩展性质（满足这10条性质，就可以称之为向量）：
向量空间：一个集合，集合中的元素可以定义两种运算： 加法和数量乘法，使得满足十条性质。
欧几里得空间R”是向量空间 我们通常说起向量，就是指欧几里得空间中的元素 为了区别，通常把非欧几里得空间的向量空间，称为广义向量空间。
广义向量空间例子：
例如所有的2*2方阵可以构成一个向量空间（满足10条性质）。或者推广来讲，所有的n阶方阵都可以构成一个向量空间。
例如所有的多项式构成一个向量空间。
例如对角矩阵也满足相关的性质。
这些都不重要，主要讨论的还是欧几里得向量空间。
子空间
假设V是一个向量空间，如果S是V的子集，且S还是一个向量空间（对加法和数乘封闭即可） 则称S是V的一个子空间
如下，虽然S是V的子集，但是S并不是向量空间：
对于n维空间来说： 过原点的一个m维空间(m<n)，是n维空间的一个子空间
维度
空间=>向量空间=>欧几里得空间，这里主要研究的就是欧几里得空间。
一个空间的基中，向量的个数（每个向量中数的个数），称为维度。
我们称原点本身的维度为0。
被向量u=(2,0,0); v = (-1,0,0); w =(0,0,1)生成的空间，维度是多少?
维度是2，基是2，不能生成3维空间（3维空间的子空间）
**注意：**一组n维向量的生成空间，可能是低于n维的
行空间与矩阵的行秩
Gauss-Jordan消元法的结果的每一行，是原来矩阵各行的一个线性组合。
将这组向量按照行排列成一个矩阵。 执行Gauss-Jordan消元法（化为RREF) ,非零行的个数即为其生成空间的维度，也即行生成空间的基。
对于一个矩阵行向量生成的空间，称为行空间(Row Space) 列向量生成的空间，称为列空间(Column Space)
m行n列，行空间是m维空间的子集，而列空间是n维空间的子集。
行秩：一个矩阵的行最简形式的非零行的数量（行空间的维度）。
列空间与矩阵的列秩
列空间的实质可以转化为求线性齐次方程组，即看k1,k2,k3是否有唯一解：
系数矩阵化简后，可以观察非零行的个数，亦即非自由变量的个数（主元列的个数）:
行最简形式含主元的列的个数为维度；
主元列（非自由列）的个数，为列秩。
主元列所对应的原矩阵的列（在进行行变换时，列已经改变了），是列空间的一组基。
而行最简型得到的非零行即为一组基（因为是由行操作得来的）。
m行n列，列空间是n维空间的子集（子空间）。
矩阵的秩（Rank）
矩阵的行秩=矩阵的列秩=矩阵的秩
行最简形式通过列初等变换可以化成标准型：
秩r=n(维数)，我们称之为满秩
零空间
一个齐次线性方程组的所有解，形成一个向量空间（解空间）。
一个齐次线性方程组的所有解，形成一个向量空间。
这个空间由非主元列线性表示，故其秩为方程组中自由变量的个数。
称这个空间，为零空间(Null Space) A的零空间，就是Ax=0中，所有x组成的空间。
如果系数矩阵为m*n的矩阵，解为n维向量 如果解形成向量空间，则该向量空间是n维空间的一个子空间 只需证明对向量加法和数量乘法封闭
关于零空间的理解：
理解一：
Ax = 0 这个方程组中，所有的x组成的空间
理解二：
理解三：
这意味着：这个集合中所有的向量，和A的行空间中所有的向量垂直（正交）=> 这个集合和A的行空间正交
也就意味着：两个空间没有交集
空间正交：
秩-零化度定理：
对于一个m*n的矩阵，将其化为行最简形式 主元列数为列空间的维度自由列数为零空间的维度 列空间的维度＋零空间的维度 = n，秩(rank)＋零化度(Nullity) = n
对比：
对于一个m行n列的矩阵
| 列空间Col(A)，维度为r | 零空间Null(A)，维度为n-r |
|---|---|
| Ax = v(x任取，这个式子的意思是列空间由列向量线性组合表示) 列空间是m维空间的子空间列空间的维度，为行最简形式中主元列数 主元列的对应原矩阵的列，是列空间的一组基。 | Av = 0 零空间是n维空间的子空间: 零空间的维度，为行最简形式的自由列数 求零空间的基需要求解Av=0并变形化为线性无关向量。 |
何时零空间维度为0？ 列空间的维度为n，亦即对方阵来讲，满秩的情况。
与前面所学诸多概念的联系：
四大子空间
列空间 Col(A)维度为r
行空间 Col()维度为r
零空间，与行空间正交 Null(A)维度为n-r
左零空间，与列空间正交
的零空间
Null()维度为m-r
称之为左零空间的原因：
这样子就成了左乘A
