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1、写在前面

大家好，今天文章的内容是：

图的若干概念

2、内容

2.1、什么是图？

图（ $grahp$ ）是由顶点的非空集合 $V$ 和边或弧的集合 $E$ 组成的，表示为 $G=(V, E)$ 。

一般的，我们用 $V(G)$ 表示图 $G$ 的顶点集，用 $E(G)$ 表示图 $G$ 的边集。

图结构是一种复杂的非线性结构，在图结构中，结点之间的关系是多对多的关系。因此图结构一般被用于描述各种复杂的数据关系，在计算机科学领域有着广泛的应用。

2.2、图的基础术语

下面记录图论的一些基本概念。

无向图

如果图中的结点对是无序的，也就是说结点之间的边是没有方向的。此时将这个图 $G$ 称为无向图。

边集 $E(G)$ 为无向边的集合，以无序对 $(u，v)$ 表示 $u$ 和 $v$ 之间存在一条无向边。在无向图中边是对称的， $(u，v)$ 和 $(v，u)$ 表示的是同一条边。

有向图

如果图中的顶点对是有序的，也就是说结点之间的边是有方向的，这时则称图 $G$ 为有向图。

边集 $E(G)$ 为有向边的集合，此时习惯上会将结点的边称为弧，并且以有序对 $<u，v>$ 表示一条从顶点 $u$ 出发到达顶点 $v$ 的弧，其中： $u$ 称为弧尾或起点， $v$ 称为弧头或终点。在有向图中， $<u，v>$ 和 $<v，u>$ 不同的两条弧。

加权图

图中的边带有某种与之相关的数值，我们称之为权值。

如果图中的边被赋予权值，那么这种图就被称为加权图。

如果图是有向的，称为加权有向图，如果是无向的，称为加权无向图。

无向完全图

如果在无向图中，任意两个顶点都有一条边直接相连，这时就称该图为无向完全图。

备注：

具有 $n$ 个顶点的无向完全图具有 $n(n-1)/2$ 条边。

有向完全图

如果在有向图中，任意顶点都有一条弧直接到达其他顶点，这时就称该图为有向完全图。

备注：

具有 $n$ 个顶点的有向完全图具有 $n(n-1)$ 条弧。

子图

给定两个图 $G$ 和 $G'$ ，且满足条件 $V(G')$ 是 $V(G)$ 的子集， $V(G')⊆V(G)$ ，且 $E(G')$ 是 $E(G)$ 的子集， $E(G')⊆E(G)$ ，则称 $G'$ 是 $G$ 的子图。

度

在一个图 $G$ 中，与顶点 $v$ 相关联的边的数目被称为顶点 $v$ 的度。

注意：

在无向图中，顶点 $v$ 的度指的是与该顶点相关联的边的数目。
在有向图中，顶点 $v$ 的度分为入度和出度。因此有向图的度等于入度和出度相加。

清楚度的概念，我们不难得出一个结论：一个具有 $n$ 个顶点， $e$ 条边或弧的图，其顶点的度数之和就等于边数的2倍。

连通图和连通分量

这里需要清楚连通的概念。在无向图G中，若从顶点 $u$ 到顶点 $v$ 存在一条路径（ $u≠v$ ），也就是这两个顶点是可达的，此时就称 $u$ 到 $v$ 是连通的。

明白什么是连通后，再看看什么是连通图。如果顶点集 $V(G)$ 中的每一对不同的顶点 $u$ 和 $v$ 都连通，则称 $G$ 是连通图。

另外，无向图 $G$ 中的极大连通子图称为图 $G$ 的连通分量。

强连通图和强连通分量

前面已经知道了什么是连通。那么，在有向图中，如果对于 $V(G)$ 中的每一对不同的顶点 $u$ 、 $v$ （ $u≠v$ ）都存在从 $u$ 到 $v$ 的一条路径以及从 $v$ 到 $u$ 的一条路径，那么称该图 $G$ 为强连通图。

另外，有向图 $G$ 中极大的强连通子图称为图 $G$ 的强连通分量。

生成树

连通图的生成树是包含图中所有顶点的一个极小连通子图。

说明：

生成树的特点是含有图中全部的n个顶点，并且只有n-1条边（n-1条边就足以构成一棵树）
边尽可能的少，但又要保持连通。
因此在生成树中任意地添加一条边，必然会构成一个回路或环。

需要注意，图的生成树并不是唯一的。

有向树

只有一个顶点的入度为0，其余顶点的入度为1的有向图，称为有向树。

说明：

有向树是弱连通图。
将有向图的所有的有向边替换为无向边，所得到的图称原图的基图。
如果一个有向图的基图是连通图，则该有向图是弱连通图

2.3、图的抽象数据类型定义

代码如下，仅供参考：

template <class VType, class EType> 
class Graph {
public:
    // 返回图的顶点数
    int numOfVertex() const { return verNum; }
    // 返回图的边数
    int numOfEdge() const { return edgeNum; }
    // 创建图
    virtual void createGraph(const VType V[],const EType E[])=0;
    // 查找边
    virtual bool searchEdge(int from, int to) const = 0;
    // 插入权值为w的边
    virtual bool insertEdge(int from, int to, EType w) = 0;
    // 删除边
    virtual bool removeEdge(int from, int to) = 0;
    // 输出图
    virtual void printGraph()const=0;
    // 深度优先遍历
    virtual void dfsTraverse()const = 0;
    // 广度优先遍历
    virtual void bfsTraverse()const = 0;
    // 拓扑排序
    virtual bool topSort()const=0;
    // prim算法
    virtual void prim(EType noEdge) const=0;
    // kruskal算法
    virtual void kruskal() const=0;
    // 输出最小生成树
    virtual void printMst()const=0;

protected:
    int verNum, edgeNum; // 图的顶点数和边数
    bool *visited;      // 访问标志数组
    // 最小生成树的边结点类型
    struct mstEdge {
        // 边的三元组(始点，终点，权值)
        int vex1, vex2;
        EType weight;
        // 由于需要使用优先级队列，因此要重载 <
        bool operator<(const  mstEdge &e) const {
            return weight < e.weight;
        }
    } *TE;  // 最小生成树的边集
};

3、写在最后

好了，文章的内容就到这里，感谢观看。

【C++学习笔记】：图论基础术语