矩阵

矩阵

矩阵可以理解为向量的函数：

其他视角理解矩阵的乘法：

左逆矩阵和右逆矩阵（非方阵会存在这种情况）：

使用numpy求逆矩阵：

# 逆矩阵
invA = np.linalg.inv(A)
print(invA)
print(invA.dot(A))
print(A.dot(invA))

矩阵和它的逆同型

用矩阵表示空间

使用列视角看矩阵相乘：

列视角矩阵相乘，几何的含义：

推广开来（对比向量空间来学习）：

空间中其他向量可以由图中已知的两个线性无关的向量来进行表示。

看待矩阵的视角

1. 数据（可忽略，不是线性代数研究的重点）

2. 系统（线性方程组）

   

3. 变换（向量的函数）

   

最后一个旋转变换，在同济的书上也有相关例题

4. 空间

   

线性系统

二维空间中是一条线，在三维空间中是一个面

高斯消元

先让主元下面的元素都为0， 再让主元上面的元素都为0

关于方程个数>未知数个数的思考：

这种情况下未知数个数决定了矩阵的秩，系数矩阵变换成行最简矩阵的行数最多和未知数个数一致

比如二元函数，三个方程。二维空间下两个线性无关的向量可以表示任意其他向量，所以，这个方程组变换后最多可为两行

综合来讲：

求解矩阵的逆

以如下的方式求矩阵的逆时，可以看作求解方程，这个方程不可能有无数的解，要么有唯一的逆矩阵，要么不存在逆矩阵（系数矩阵行最简型有0行）：

求出了右逆，那必然也是左逆

初等矩阵具有可逆性，即其所进行初等变换操作的逆操作

$Ax = b$ 亦可加入命题列表。

矩阵的分解

矩阵的LU分解

主要针对方阵，也可以对非方阵进行分解。

走高斯消元的前半段过程（此过程中不能交换两行的顺序），U即为消元后的上三角矩阵，L则为对原矩阵所进行的初等变换的逆操作：

注意到下三角矩阵中标注的元素并没有化为15，是因为$E$以及$E^{-1}$不是一一对应的，而是相反的

而$E_i$所作的变换并不会对其后的变换有所影响，可以从后往前来，但不可应用前面的既得结论

上三角矩阵以及下三角矩阵对应的方程比较容易解，在计算机中一般使用LU分解来实现：

LDU分解

可以继续将U分解成单位上三角矩阵：

PLU分解

进行到如下的第三步，就无法进行LU分解，可以将3行和2行进行交换，亦可理解为在原矩阵基础上进行交换，所以可以对交换后的矩阵进行LU分解再左乘上置换矩阵P（用以两行交换）

从而有：

像这种矩阵，可以使用列交换：

列交换右乘示意图：

相当于每一列和前面的矩阵相乘后进行排列，故而交换单位矩阵的两列相乘所得的乘积也为原矩阵的两列交换

行变换同理：

上面的视角是将左乘的矩阵看成一行一行的，而右乘的矩阵看成一列一列的

以列视角看待左乘：

需要对所得列作加和操作。

在列的视角下看矩阵的乘法（与矩阵与向量的乘法有相似之处 => 可看作与多个向量相乘，得到的结果从多个向量相加变成了多个矩阵相加）：