启掘金成长之旅！这是我参与「掘金日新计划 · 12 月更文挑战」的第4天，点击查看活动详情

该题是数组二分查找题型第四题。

数组专栏 - 掘金

题目来源

题目描述（`简单`）

给你一个非负整数 x ，计算并返回 x 的 算数平方根 。

由于返回类型是整数，结果只保留 整数部分 ，小数部分将被舍去。

注意：不允许使用任何内置指数函数和算符，例如 pow(x, 0.5) 或者 x ** 0.5 。

示例1

输入： x = 4
输出： 2

示例2

输入： x = 8
输出： 2
解释： 8 的算术平方根是 2.82842..., 由于返回类型是整数，小数部分将被舍去。

提示

$0 <= x <= 2 ^ {31} - 1$

题目解析

该题有两种解题思路：

通过其它的数学函数代替平方根函数得到精确结果，取整数部分作为答案
通过数学方法得到近似结果，直接作为答案

该题作为二分查找的巩固训练，先采用二分查找的方法来得到结果。

二分查找

由于 x 的平方根整数部分是满足 $num^2 <= x$ 的最大值 num ，因此我们对 num 进行二分查找即可。

于是，可以设定左边界为 0 ，右边界为 x ，在二分查找中，不断的比较 mid 和 x 的关系。

当你举例够多的时候，你会发现，在 $0 <= x <= 2 ^ {31} - 1$ 范围中， $(\frac{x}{2})^2 > x$ 必定成立，所以可以将右边界设定为 $\frac{x}{2}$ 。

代码

/**
 * @param {number} x
 * @return {number}
 */
var mySqrt = function(x) {
    let left = 1, right = Math.ceil(x / 2)
    while (right >= left) {
        let mid = Math.floor((left + right) / 2)
        if (mid * mid > x) {
            right = mid - 1
        }else if (mid * mid < x) {
            left = mid + 1
        }else{
            return mid
        }
    }
    return right
};

时间复杂度： $O(\log x)$ 。
空间复杂度： $O(1)$ 。

如图：

当等于和小于合并为一个判断条件时，你会发现， left - 1 一直是满足 num * num <= x 的最大值。

代码（精简代码）

/**
 * @param {number} x
 * @return {number}
 */
var mySqrt = function(x) {
    let left = 1, right = Math.ceil(x / 2)
    while (right >= left) {
        let mid = Math.floor((left + right) / 2)
        if (mid * mid > x) {
            right = mid - 1
        }else {
            left = mid + 1
        }
    }
    return left - 1
};

如图：

而当等于和大于合并时，你会发现 right 有两种情况：

right * right = x
(right + 1) * (right + 1) = x

因此需要对 right 和 right + 1 进行判断。

代码（精简代码）

/**
 * @param {number} x
 * @return {number}
 */
var mySqrt = function(x) {
    let left = 1, right = Math.ceil(x / 2)
    while (right >= left) {
        let mid = Math.floor((left + right) / 2)
        if (mid * mid >= x) {
            right = mid - 1
        }else {
            left = mid + 1
        }
    }
    return (right + 1) * (right + 1) <= x ? right + 1 : right
};

如图：

总而言之，该题需要找到满足 num * num <= x 的最大值 num 。当 num * num === x 时，left - 1 和 right + 1 都可以作为返回结果。但是当 num * num < x 时，在最后一次循环 left === right 中，根据 mid * mid < x ，所以只会执行 left = mid + 1 该条语句，所以将等于的情况合并到小于的情况中时，返回结果不需要变化，但将等于的情况合并到大于的情况中时，返回结果就需要判断了。

袖珍计算器算法

该方法是一种用指数函数 exp （ Math.exp() - JavaScript ）和对数函数 ln （ Math.log1p() - JavaScript ）代替平方根函数的方法。通过有限的可以使用的数学函数，得到计算的预期结果。

公式如下：

\sqrt{x} = (e ^ {\ln x}) ^ {\frac{1}{2}} = e ^ {\frac{1}{2}\ln x}

注意：由于计算机无法存储浮点数的精确值（浮点数的存储方法可以参考 IEEE 754_百度百科），这里不在赘述。而指数函数和对数函数的参数和返回值均为浮点数，因此计算过程中会存在误差。例如当 x = 2147395600 时， $e ^ {\frac{1}{2}\ln x}$ 的运算结果与正确值 46340 相差 $10 ^ {-11}$ ，这样在对结果取整数部分时，会得到 46339 这个错误结果，因此得到整数部分，应当找出 res + 1 和 res 两个中哪一个是正确答案。

代码

/**
 * @param {number} x
 * @return {number}
 */
var mySqrt = function(x) {
    if (x === 0) {
        return 0
    }
    let res = Math.floor(Math.exp(0.5 * Math.log1p(x - 1)))
    return (res + 1) * (res + 1) <= x ? res + 1 : res
};

时间复杂度： $O(1)$ ，由于内置的 exp 函数与 log 函数一般都很快，所以这里将其复杂度视为 O(1) 。
空间复杂度： $O(1)$ 。

如图：

执行用时和内存消耗仅供参考，大家可以多提交几次。如有更好的想法，欢迎大家提出。

LeetCode —— 69. x 的平方根

题目来源

题目描述（简单）

示例1

示例2

提示

题目解析

二分查找

代码

代码（精简代码）

代码（精简代码）

袖珍计算器算法

代码

题目描述（`简单`）