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算法简介
关键路径算法是一种用来解决 事件最短时间问题 的算法
现实案例：
小莹周末想跟对象出去玩，但是老师留了一堆作业，所以她在出去玩之前要先将作业完成，写完作业之后立马去约会肯定是不行滴，她还需要化妆，然后再美美地约对象去玩，然后等玩到深夜，回来还要卸妆，洗澡，洗衣服，如果玩的太晚，这些事情可能就会耽搁她睡觉。于是她得出结论， 是时候该分手了。。。。
由上可见，小莹在出去玩之前需要完成一些前置事件，之后才能进行 跟对象出去玩 这个事件，因此
跟对象出去玩 这个事件的 最早发生时间 取决于所有前置事件的完成时间。 然后，小莹在回家后为了不推迟睡觉时间，她就需要在睡前把各种杂务事做完，所以 杂务事件 的 最晚发生时间 是睡觉时间往前减去做完杂务所需的时间。
那么 关键路径就是 最早发生时间等于最晚发生时间的路径。 在这条路径上的活动集合，我们不能拖延，一旦这些活动的前置事件完成，我们就要立马去做这些事，否则就会耽误这个活动集合后面的活动。
在生活中，每件事的限定时间一般都会超出我们需要花的时间很多， 也就是说，当我们做这件事之前可以
拖延一段时间准备一段时间。所以经常就会有人在时间截止时间（DDL）前不久才将事情做完。 在日常生活中，适当增加关键路径活动，可以提高我们的工作效率。
算法分析
在关键路径算法中我们使用的图是------ AOE（Activity On Edge）网：活动在边上，边有权重链接.
算法思路
在这个算法中我们先求出每个事件的最早发生时间和最晚发生时间，然后再从起点开始遍历整张图，查看哪些点的最早发生时间等于最晚发生时间，这些点连接成的路径就是关键路径。
算法步骤
求解事件最早发生时间
对图做拓扑排序,接着将起点事件的最早发生时间设置为0。然后按照拓扑正序，我们从起点出发，设当前点为u，u的后置事件为v。
v的最早发生事件为（v的最早发生时间 与 u点的最早发生时间加上u事件的消耗时间 ）取最大值，遵循了 事件的 最早发生时间 取决于所有前置事件的完成时间。代码如下：
for (int j = bian[0][x]; j; j = e[j].last) {
int y = e[j].to;
early[y] = max(early[y], early[x] + e[j].d);
}
求解事件最晚发生时间
我们将终点的最晚发生时间设置为终点的最早发生时间。然后按照拓扑反序，我们从汇点（终点）出发，设当前点为u，u的前置事件为v。
v的最晚发生时间等于 （v的最晚发生时间 与 u点最晚发生时间减去该事件的消耗时间）取最小值，遵循了 事件的 最晚发生时间 取决于后置事件的完成时间- 后置事件消耗的时间。代码如下
for (int j = bian[1][x]; j; j = e[j].last) {
int y = e[j].to;
last[y] = min(last[y], last[x] - e[j].d);
}
最后我们用dfs从起点遍历图，寻找最早发生时间等于最晚发生时间的点，他们连接起来的路径就是关键路径啦
详细代码：
代码默认起点为0，终点为n-1
#include<iostream>
#include<vector>
#include<queue>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int n = 2333;
int n, m, u, v, d, deg[n], early[n], last[n],bian[2][n],cnt,top[n];
vector<int>path;
vector<vector<int>>ans;
struct edge {
int to, last, d;
}e[n<<1];
void addd(int u, int v, int d,int bian[]) {
e[++cnt].d = d;
e[cnt].to = v;
e[cnt].last = bian[u];
bian[u] = cnt;
}
void topsort() {
int head = 0, tail = 0;
top[0] = 0;
while (head <= tail) {
int t = top[head++];
for (int i = bian[0][t]; i; i = e[i].last) {
int j = e[i].to;
if (--deg[j] == 0)
top[++tail] = j;
}
}
}
void critical_path() {
topsort();
for (int i = 0; i <= n; i++) {//队列遍历顺序
int x = top[i];
for (int j = bian[0][x]; j; j = e[j].last) {
int y = e[j].to;
early[y] = max(early[y], early[x] + e[j].d);
}
}
memset(last, 0x3f, sizeof(last));
last[n] = early[n];
for (int i = n; i >= 0; i--) {
int x = top[i];
for (int j = bian[1][x]; j; j = e[j].last) {
int y = e[j].to;
last[y] = min(last[y], last[x] - e[j].d);
}
}
}
void dfs(int u) {
path.push_back(u);
if (!bian[0][u])ans.push_back(path);
for (int i = bian[0][u]; i; i = e[i].last) {
int y = e[i].to;
if(early[y]==last[y])
dfs(y);
}path.pop_back();
}
int main() {
cin >> n >> m;
for (int i = 1; i <= m; i++)
cin >> u >> v >> d, addd(u, v, d, bian[0]), addd(v, u,d, bian[1]),deg[v]++;
critical_path();
dfs(0);
printf("关键路径为\n");
for (auto &t : ans) {
for (int i = 0; i < t.size(); i++)
cout << t[i] << ' ';
cout << endl;
}
return 0;
}
