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🔥 本文由 程序喵正在路上 原创，在稀土掘金首发！
💖 系列专栏：数据结构与算法
🌠 首发时间：2022年11月30日
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基本操作

• $Adjacent(G, x, y)$：判断图 $G$ 是否存在边 $<x, y>$ 或 $(x, y)$
• $Neighbors(G, x)$：列出图 $G$ 中与结点 $x$ 邻接的边
• $InsertVertex(G, x)$：在图 $G$ 中插入顶点 $x$
• $DeleteVertex(G, x)$：在图 $G$ 中删除顶点 $x$
• $AddEdge(G, x, y)$：若无向边 $(x, y)$ 或有向边 $<x, y>$ 不存在，则向图 $G$ 中添加该边
• $RemoveEdge(G, x, y)$：若无向边 $(x, y)$ 或有向边 $<x, y>$ 存在，则从图 $G$ 中删除该边
• $FirstNeighbor(G, x)$：求图 $G$ 中顶点 $x$ 的第一个邻接点，若有则返回顶点号；若 $x$ 没有邻接点或图中不存在 $x$，则返回 $-1$
• $NextNeighbor(G, x, y)$：假设图 $G$ 中顶点 $y$ 是顶点 $x$ 的一个邻接点，返回除了 $y$ 之外顶点 $x$ 的下一个邻接点的顶点号，若 $y$ 是 $x$ 的最后一个邻接点，则返回 $-1$
• $Get_edge_value(G, x, y)$：获取图 $G$ 中边 $(x, y)$ 或 $<x, y>$ 对应的权值
• $Set_edge_value(G, x, y, v)$：设置图 $G$ 中边 $(x, y)$ 或 $<x, y>$ 对应的权值为 $v$

广度优先遍历（BFS）

与树的广度优先遍历之间的联系

树的广度优先遍历，也就是树的层次遍历，有以下步骤：

1. 若树非空，则根节点入队
2. 若队列非空，队头元素出队并访问，同时将该元素的孩子依次入队
3. 重复第 $2$ 步指导队列为空

对于树，由于树不存在 “回路”，因此在搜索相邻的结点时，不可能搜索到已经访问过的结点；而图则反之，所以我们需要对图中的结点进行标记，以此来识别这个结点是否访问过

广度优先遍历（$Breadth-First-Search, BFS$）要点：

1. 找到与一个顶点相邻的所有顶点
2. 标记哪些顶点被访问过
3. 需要一个辅助队列

在广度优先遍历中，我们需要用到两个基本操作：

• $FirstNeighbor(G, x)$：求图 $G$ 中顶点 $x$ 的第一个邻接点，若有则返回顶点号；若 $x$ 没有邻接点或图中不存在 $x$，则返回 $-1$
• $NextNeighbor(G, x, y)$：假设图 $G$ 中顶点 $y$ 是顶点 $x$ 的一个邻接点，返回除了 $y$ 之外顶点 $x$ 的下一个邻接点的顶点号，若 $y$ 是 $x$ 的最后一个邻接点，则返回 $-1$

算法实现

bool visited[MAX_VERTEX_NUM];	//访问标记数组，初始值都为false

void BFSTraverse(Graph G) {		//对图G进行广度优先遍历
    for (i = 0; i < G.vexnum; ++i) {
        visited[i] = false;		//访问标记数组初始化
    }
    InitQueue(Q);			//初始化辅助队列Q
    for (i = 0; i < G.vexnum; ++i) {	//从0号顶点开始遍历
        if (!visited[i]) 		//对每个连通分量调用一次BFS
            BFS(G, i);		        //vi未访问过，从vi开始BFS
    }
}
		
//广度优先遍历
void BFS(Graph G, int v) {		//从顶点v出发，广度优先遍历图
    visit(v);				//访问初始顶点v
    visited[v] = true;			//对v做已访问标记
    Enqueue(Q, v);			//顶点v入队列Q
    while (!isEmpty(Q)) {
        DeQueue(Q, v);			//顶点v出队
        for (w = FirstNeighbor(G, v); w >= 0; w = NextNeighbor(G, v, w)) {
            //检测v所有邻接点
            if (!visited[w]) {		//w为v的未访问过的邻接顶点
                visit(w);		//访问顶点w
                visited[w] = true;	//对w做已访问标记
                Enqueue(Q, w);		//顶点w入队列Q
            }//if
        }//for
    }//while
}	

结论：对于无向图，调用 $BFS$ 函数的次数 $=$ 连通分量数（连通分量：一个极大连通子图为一个连通分量）

复杂度分析

空间复杂度：

• 最坏情况，我们访问第一个顶点时，所有顶点都和它连通，此时辅助队列大小为 $O(|V|)$

如果我们是用邻接矩阵存储的图：

• 访问 $|V|$ 个顶点需要 $O(|V|)$ 的时间
• 查找每个顶点的邻接点都需要 $O(|V|)$ 的时间，而总共有 $|V|$ 个顶点
• 时间复杂度 $= O(|V|^2)$

如果我们是用邻接表存储的图：

• 访问 $|V|$ 个顶点需要 $O(|V|)$ 的时间
• 查找每个顶点的邻接点共需要 $O(|E|)$ 的时间
• 时间复杂度 $= O(|V| + |E|)$

广度优先生成树

广度优先生成树由广度优先遍历过程确定。由于邻接表的表示方式不唯一，因此基于邻接表的广度优先生成树也不唯一

对于非连通图的广度优先遍历，我们还可以得到广度优先生成森林

深度优先遍历（DFS）

与树的深度优先遍历之间的联系

树的深度优先遍历分为先根遍历和后根遍历，图的深度优先遍历和树的先根遍历比较相似

//树的先根遍历
void PreOrder(TreeNode *R) {
	if (R != NULL) {
		visit(R);		//访问根节点
		while (R还有下一个子树T)
			PreOrder(T);	//先根遍历下一棵子树
	}
}

算法实现

bool visited[MAX_VERTEX_NUM];	//访问标记数组

void DFSTraverse(Graph G) {				//对图G进行深度优先遍历
	for (v = 0; v < G.vexnum; ++v)		//初始化已访问标记数据
		visited[v] = false;
	for (v = 0; v < G.vexnuj; ++v)		//解决非连通图无法遍历完的问题
		if (!visited[v]) DFS(G, v);
}

void DFS(Graph G, int v) {		//从顶点v出发，深度优先遍历图G
	visit(v);					//访问顶点v
	visited[v] = true;			//设置已访问标记
	for (w = FirstNeighbor(G, v); w >= 0; w = NextNeighbor(G, v, w)) {
		if (!visited[w]) {		//w为v的未访问的邻接顶点
			DFS(G, w);
		}
	}
}

复杂度分析

空间复杂度：来自函数调用栈，最坏情况下，递归深度为 $O(|V|)$；最好情况为 $O(1)$

时间复杂度 $=$ 访问每个节点所需时间 $+$ 探索每条边所需时间

如果是用邻接矩阵存储的图：

• 访问 $|V|$ 个顶点需要 $O(|V|)$ 的时间
• 查找每个顶点的邻接点都需要 $O(|V|)$ 的时间，总共有 $|V|$ 个顶点
• 总时间复杂度为 $O(|V|^2)$

如果是用邻接表存储的图：

• 访问 $|V|$ 个顶点需要 $O(|V|)$ 的时间
• 查找每个顶点的邻接点共需要 $O(|E|)$ 的时间
• 时间复杂度 $= O(|V| + |E|)$

你会发现，深度优先遍历和广度优先遍历的复杂度是一样的

深度优先遍历序列

对于上图：

• 从 $1$ 出发的深度优先遍历序列为：$1, 2, 6, 3, 4, 7, 8, 5$
• 从 $2$ 出发的深度优先遍历序列为：$2, 1, 5, 6, 3, 4, 7, 8$
• 从 $3$ 出发的深度优先遍历序列为：$3, 4, 7, 6, 2, 1, 5, 8$

注意：如果邻接表不一样，深度优先遍历序列也可能不一样；同时，因为邻接矩阵表示方式唯一，所以深度优先遍历序列唯一

深度优先生成树

将深度优先遍历序列写成树的形式，即为对应的深度优先生成树

如果是非连通图，那么会有深度优先生成森林

图的遍历和图的连通性

对无向图进行 $BFS/DFS$ 遍历，调用 $BFS/DFS$ 函数的次数等于连通分量数；如果是连通图的话，我们只需要调用一次 $BFS/DFS$ 函数

对有向图进行 $BFS/DFS$ 遍历，调用 $BFS/DFS$ 函数的次数要根据具体的数进行具体分析；如果起始顶点到其他顶点都有路径，那么我们只需要调用一次函数即可

对于强连通图，我们从任何一个顶点出发都只需要调用一次 $BFS/DFS$