杨辉三角形

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题目描述

下面的图形是著名的杨辉三角形：

如果我们按从上到下、从左到右的顺序把所有数排成一列，可以得到如下数列： 1,1,1,1,2,1,1,3,3,1,1,4,6,4,1,⋯

给定一个正整数 N，请你输出数列中第一次出现 N 是在第几个数？

输入输出样例

示例 1

输入

6

输出

13

评测用例规模与约定

对于 20%的评测用例，1≤N≤10； 对于所有评测用例，1≤N≤1000000000。

解题思路

常规的做法就是根据上一层计算出下一层，直到找到值为n的数。但是，看这道题的N的范围非常的大，这样找肯定会超时的。我们仔细观察不难发现杨辉三角是有一定规律的。

1. 左右两边的值是对称的，在计算时只需要计算一半就可以。
2. 每一行的第2个数是递增的

3. 最重要的一点，只要当前的值大于了目标值，那么目标值第一次出现出现的地方就在n+1行的第2个值。

知道了这三点，我们就可以通过模拟找到等于n的值，或者大于n的值。（注：前n项和公式：Sn=n*(a1+an)/2)

代码

public class Main {
    public static void main(String[] args) {
        Scanner scan = new Scanner(System.in);
        long n = scan.nextLong();
        if (n == 1) {
            System.out.println(1);
            return;
        }
        // 前n项和公示 Sn = n(a1+an)/2;
        int col = 3; // 当前杨辉三角的行数
        List<Long> list = new ArrayList<>(); // 存放每行的数据,因为每一行前一部分和后一部分数据相同,所以只需要存放一半
        List<Long> list2 = new ArrayList<>(); // 用来暂存每行数据
        list.add(1L);list.add(1L);
        while (true) {
            list2.add(1L); // 每一行都需要先添加一个1
            for (int i = 1; i < list.size(); i++) {
                long num = list.get(i - 1) + list.get(i);
                if (num == n) { // 等于目标值
                    long ans = (col - 1) * (1 + col - 1) / 2 + i + 1; // 前n项和+i;
                    System.out.println(ans);
                    scan.close();
                    return;
                }
                if (num > n) { // num已经大于目标值
                    long ans = n * (1 + n) / 2 + 2;
                    System.out.println(ans);
                    scan.close();
                    return;
                }
                list2.add(num); // 当前数等于上一层数+上一层之前一个数
            }
            if ((col & 1) != 1) { // 偶数行要再加一个
                list2.add(list2.get(list2.size() - 1));
            }
            list = list2;
            list2 = new ArrayList<>();
            col++;
        }
    }
}

注意

这里n的取值范围非常大，已经大于了2的31次方，需要使用long来接受，在计算杨辉三角时也需要使用long来计算。这里卡了我半天没找到错。