LC-813. 最大平均值和的分组

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813. 最大平均值和的分组

一、题目描述：

给定数组 nums 和一个整数 k 。我们将给定的数组 nums 分成 最多 k 个相邻的非空子数组 。 分数 由每个子数组内的平均值的总和构成。

注意我们必须使用 nums 数组中的每一个数进行分组，并且分数不一定需要是整数。

返回我们所能得到的最大 分数 是多少。答案误差在 10-6 内被视为是正确的。

示例 1:

输入: nums = [9,1,2,3,9], k = 3
输出: 20.00000
解释: 
nums 的最优分组是[9], [1, 2, 3], [9]. 得到的分数是 9 + (1 + 2 + 3) / 3 + 9 = 20. 
我们也可以把 nums 分成[9, 1], [2], [3, 9]. 
这样的分组得到的分数为 5 + 2 + 6 = 13, 但不是最大值.

示例 2:

输入: nums = [1,2,3,4,5,6,7], k = 4
输出: 20.50000

二、思路分析：

题目要求最多划分 k 个子数组， 但是根据数学结论可以知道 ： 划分份数越多，平均值之和越大，因此想要取得最大值必然是恰好划分成 k 份

动态规划(序列DP) : 定义 dp[i][j] 为 前 i 个数字划分为 j 个子数组的最大平均值和

• j == 1 时 ： dp[i][j] = (nums[0] + ... + nums[i]) / (i + 1)

• j > 1 时， 从 1 到 i 之前枚举分割点为 m, dp[i][j] = Math.max(dp[i][j], dp[m - 1][j - 1] +( nums[m] + ... + nums[i] ) / (i - m + 1));

为了加速计算区间的和， 可以使用前缀和进行优化预处理

定义前缀和数组 sum, sum[i]的值表示为 nums[0] + ... + nums[i - 1]

计算区间 i - j 的和可以使用 sum[i + 1] - sum[j] 来获取

三、AC 代码：

public double largestSumOfAverages(int[] nums, int k) {
    int n = nums.length;
    int[] sum = new int[n + 1];
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        sum[i] = sum[i - 1] + nums[i - 1];
    }

    double[][] dp = new double[n][k + 1];

    for (int i = 0; i < n; i++) {
        for (int j = 1; j <= k; j++) {
            if (j == 1) {
                dp[i][j] = 1.0 * sum[i + 1] / (i + 1);
            } else {
                for (int m = 1; m <= i; m++) {
                    dp[i][j] = Math.max(dp[i][j], dp[m - 1][j - 1] + 1.0 * (sum[i + 1] - sum[m]) / (i - m + 1));
                }
            }
        }
    }

    return dp[n - 1][k];
}