如何在Matlab中求解离散的Logistic方程
逻辑方程是一个人口增长模型，其中的资源和空间是有限的。因此，Logistic模型是一个考虑了承载能力的模型。
承载能力是指一个环境在可用资源不被耗尽的情况下所能支持的最大人口数量。
这个模型的目的是找到一个特定环境可以支持的最大人口数。
生态学部门使用这个方程式来模拟人口增长，因为他们假设繁殖率与当前人口和可用资源成正比。
它还可以确定在一个特定的利基中影响人口增长的各种因素。好消息是，你可以对这些逻辑学问题进行编程。
在这篇文章中，我们将研究如何使用Matlab来解决这些逻辑问题。
前提条件
要完成这篇文章，你需要具备以下条件。
- 安装了[Matlab]。
- 对[Matlab]基础知识的正确理解。
Logistic方程的概述
Logistic模型的基础是以下的数学方程。
\begin{cases} X_{t+1} = X_t + KX_t(1-X_t/C)\\X_0 = 10 \end{cases}
其中。
K = 增长率
C = 承载能力
X_n = 某一特定时间的人口
n = 时间
Logistic方程是一个更现实的人口增长模型。这意味着Logistic模型着眼于任何一组生物在特定时间的人口。
此外，Logistic模型是一个考虑到承载能力的模型。承载能力是一个环境所能支持的最大数量的个体。
指数模型$A=Ke^{rt}$ ，假设有无限的空间和资源。
比方说，我们在一个特定的岛上有一些兔子。指数模型假设，岛上有多少只兔子并不重要；总是有足够的食物和空间。
这意味着，随着时间的推移，兔子的数量会无限制地增长。
基本上，在现实世界中，兔子的数量会增长，但它会达到一个点，即兔子的资源或空间耗尽。
当这种情况发生时，它们不再增长；它们开始趋于平缓。这使得逻辑模型更现实一些。
Matlab代码
我们创建一个函数来帮助我们计算Logistic方程。
function logistic_Model
然后我们定义参数。在这种情况下，我们的参数是，k 和c 。
% Parameters
k = 0.5; % growth rate
c = 250; % Carrying capacity
接下来，我们需要做的是使用我们的初始条件。在模型的方程中，我们有x0=10 ；这是我们增长率的初始值。
我们将在我们的代码中定义这个。
注意，你可以在任何时候改变参数和初始值，这取决于你所处理的内容。
x0 = 10;
接下来我们可以定义的是时间信息。
对于这些离散方程，我们知道时间是从1,2,3,4,e.t.c向前推进的。
% Time information
N_end = 100; %number of iterations
我们几乎已经完成了所有的后续工作。我们已经设置了参数、初始值和时间信息。
这意味着我们将继续进行迭代求解。我们将通过在一个向量中存储我们的迭代值来做到这一点。
这是因为它们在计算时是非常重要的。因此，如果我们有了解决方案的向量，我们将把该向量中的第一个值作为初始值。
还有一点需要注意的是，Matlab是从1开始索引的。这意味着我们在考虑初始值的方式上会有一些偏差。
记住，我们的初始值是10 。所以，我们将把这个值指定为我们的第一个索引。
%store the initial value solution in a vector
x(1) = x0;
for n = 1:1:N_end-1
x(n+1) = x(n) + k*x(n)*(1-x(n)/c);
end
在上面的代码中，每次我们通过循环时，索引n 将为我们计数。在编写迭代过程中，我们考虑我们的方程并更新x 。
每次我们通过for 循环时，这个for 都会给出一个新的解决方案。
现在我们将绘制我们的解决方案，以使其可视化。我们将绘制它与时间信息的对比。
nvec = 1:1:N_end; %stores n values
这个值产生从1到N_end的数值，空间为1，并将它们存储在nvec 。我们将解决方案与nvec ，如下图所示。
plot(nvec,x);
hold on
hold on 的主要功能是将更多的解决方案添加到同一图中。
例如，如果这是一个耦合系统，我们有x ，y ，和z ，你可以继续添加这些hold on ；这样，x 的解决方案将与y 和z 的解决方案绘制在同一图中。
为了正确理解和方便使用代码，Logistic方程的一般代码将如下所示。
function logistic_Model
%------------------------------------------
% Parameters
k = 0.5; %growth rate
c = 250; % Carrying capacity
%-------------------------------------------
x0 = 10; %Initial value
%------------------------------------------
% Time information
N_end = 100; %number of iterations
%------------------------------------------
%Store initial value in the solution vector
x(1) = x0; %First entry in solution vector is initial value
%Matlab starts indexing vectors at 1.
%-------------------------------------------
%iterate to get solution values!!
for n = 1:1:N_end-1
x(n+1) = x(n) + k*x(n)*(1-x(n)/c);
end
%-------------------------------------------
%plot
% -> Solutions is stored in x
% -> Plot against time n
nvec = 1:1:N_end; %stores n values to plot against
plot(nvec,x);
hold on
从输出结果中，我们看到人口增长到一个给定的水平，在那里它是恒定的。这个点就是承载能力。
当人口增长超过这个点时，资源就会受到限制。当资源受到限制时，生物体开始死亡，人口开始下降。
结论
逻辑模型可以用来估计一个给定生态位的承载能力。它有助于实施各种因素，以帮助维持人口增长率与承载能力的关系。
这有助于管理环境中的可用资源。这个模型在生态学领域广泛适用。正如我们所看到的，使用Matlab的内置函数对这些模型进行编程更容易。
