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之前已经简单介绍过了并查集，如果并查集维护了集合内元素之间关系的有无，在我们给边附加了权值之后，加权并查集就可以维护“关系是什么”了。下面我们还是从一个经典例题入手对加权并查集进行简单说明。

问题定义

让我们直接来看一道题目。

题目链接

P2024 [NOI2001] 食物链 - 洛谷 | 计算机科学教育新生态 (luogu.com.cn)

题目大意

思路

没错就是超级经典的食物链qwq~

虽然可以用扩展域并查集来实现，但是我们在这里用它为载体来讲解加权并查集。我们刚才说了：

加权并查集可以维护“关系是什么”

在本题中需要维护的关系三种，我们开一个数组 $w$ 进行记录：

• $w[x]=1$，表示 $x$ 吃 $f[x]$。
• $w[x]=2$，表示 $x$ 被 $f[x]$ 吃。
• $w[x]=0$，表示 $x$ 和 $f[x]$ 是同类。

查询

那么我们应该怎样通过 $x$ 和 $f[x]$ 之间的关系得到 $x$ 和根节点之间的关系呢？

对于上图，我们可以列出如下关系表：

$e_1$	$e_2$	$e_{(A,C)}$	解释
0	0	0	A 和 B 是同类，B 和 C 是同类，所以 A 和 C 是同类。
0	1	1	A 和 B 是同类，B 吃 C，所以 A 吃 C。
0	2	2	A 和 B 是同类，B 被 C 吃，所以 A 被 C 吃。
1	0	1	A 吃 B，B 和 C 是同类，所以 A 吃 C。
1	1	2	A 吃 B，B 吃 C，所以 A 被 C 吃。
1	2	0	A 吃 B，B 被 C 吃，所以 A 和 C 是同类。
2	0	2	A 被 B 吃，B 和 C 是同类，所以 A 被 C 吃。
2	1	0	A 被 B 吃，B 吃 C，所以 A 和 C 是同类。
2	2	1	A 被 B 吃，B 被 C 吃，所以 A 吃 C。

容易发现 $e_{(A,C)}=(e_1+e_2)\mod 3$，我们找根的递归过程中应每次进行转移，所以我们寻找代表元素时路径压缩的代码可以实现为：

int find(int x)
{
	if (x==f[x]) return x;
	int t=find(f[x]);
	w[x]=(w[x]+w[f[x]])%3;
	return f[x]=t;
}

判断与合并

由于我们转移 $w$ 时进行了路径压缩，所以我们执行完 $find(x)$ 之后，$f[x]$ 就是 $x$ 所在集合的代表元素，$w[x]$ 就是 $x$ 与其所在集合代表元素之间的关系值。

如果 $x$ 和 $y$ 在同一个集合中，我们需要判断他们两个之间的关系是否和输入的一致。 如果 $x$ 和 $y$ 不在同一个集合中，我们需要将两个集合合并。具体判断方式也可以利用列表格或简单推理求出，详见代码。

代码

#include <iostream>
using namespace std;
int f[50001],w[50001],n,k,x,y,z,ans,i;
int find(int x)
{
	if (x==f[x]) return x;
	int t=find(f[x]);
	w[x]=(w[x]+w[f[x]])%3;	//执行完ｆｉｎｄ后，ｘ的父亲指向代表元素，ｗ［ｔ］得到更新，更新ｗ［ｘ］ 
	return f[x]=t;
}
int main()
{
	cin>>n>>k;
	for (i=1;i<=n;++i) f[i]=i;
	for (i=1;i<=k;++i)
	{
		cin>>z>>x>>y;
		if (x>n||y>n) ans++;
		else 
		{
			if (find(x)!=find(y))//若ｘ和ｙ不在一个并查集中，将其所在并查集合并 
	    	{ 
		    	if (w[x]==0) w[f[x]]=z-1;//若ｘ和它的祖先是同类，则ｘ和ｙ的关系即为ｘ的祖先与ｙ的关系
		    	else if (w[x]==z-1) w[f[x]]=0;//若ｘ和它的祖先的关系和ｘ和ｙ的关系相同，则ｘ的祖先和ｙ是同类 
		    	    else if (z==1) //若ｘ和ｙ是同类 
		    	        {//若ｘ吃ｘ的祖先，则ｘ的祖先被ｙ吃　　　
						//若ｘ被ｘ的祖先吃，则ｘ的祖先吃ｙ 
		    	    	    if (w[x]==1) w[f[x]]=2;
		    	    	    if (w[x]==2) w[f[x]]=1;
					    }
					    else w[f[x]]=2;//此时ｗ［ｘ］！＝０,ｚ！＝１,ｗ［ｘ］！＝ｚ－１
						 //所以ｚ＝２，即ｚ－１＝１，ｗ［ｘ］＝２，
						 //即ｘ吃ｙ，ｘ被ｘ的祖先吃，所以ｘ的祖先被ｙ吃 
				f[f[x]]=y;//令ｘ的祖先的父亲为ｙ
    		}
	    	else //若ｘ和ｙ在一个并查集中，查询新关系是否与其旧关系冲突 
		    {
			    if (z==2&&w[x]-w[y]!=1&&w[x]-w[y]!=-2) ans++;//若ｘ与其祖先的关系和ｙ与其祖先的关系相同，则说明ｘ和ｙ是同类 
    			if (z==1&&w[x]!=w[y]) ans++;//当。。。被满足时，ｘ吃ｙ 
	    	}
	    }
    }
    cout<<ans;
    return 0;
}  

Other

Codeforces Round #836 (Div. 2) E. Tick, Tock 可以用加权并查集做，后续更新题解。