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【LetMeFly】813.最大平均值和的分组

给定数组 nums 和一个整数 k 。我们将给定的数组 nums 分成最多 k 个相邻的非空子数组。分数由每个子数组内的平均值的总和构成。

注意我们必须使用 nums 数组中的每一个数进行分组，并且分数不一定需要是整数。

返回我们所能得到的最大分数是多少。答案误差在 10^-6 内被视为是正确的。

示例 1:

输入: nums = [9,1,2,3,9], k = 3
输出: 20.00000
解释: 
nums 的最优分组是[9], [1, 2, 3], [9]. 得到的分数是 9 + (1 + 2 + 3) / 3 + 9 = 20. 
我们也可以把 nums 分成[9, 1], [2], [3, 9]. 
这样的分组得到的分数为 5 + 2 + 6 = 13, 但不是最大值.

示例 2:

输入: nums = [1,2,3,4,5,6,7], k = 4
输出: 20.50000

提示:

1 <= nums.length <= 100
1 <= nums[i] <= 10⁴
1 <= k <= nums.length

方法一：DP + 前缀和

首先需要明白的是，虽然题目说的是“最多 $k$ 组”，但其实等价于“分为 $k$ 组”。因为能分成 $k$ 组的话，绝对不分成 $k-1$ 组。毕竟分组越少，除得越多。如果明白这个道理，下面的证明可以跳过。

证明：假设我们把数组分成了 $k-1$ 组，那么我们可以将其中的某组一分为二（一定存在元素个数大于 $1$ 的分组），这样，分母就会变小。（假设这组为 $[a_1, a_2, \cdots, a_n, b]$ ，那么这组的平均数为 $\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n+b}{n+1}$ ，不失一般性，我们把其中的 $b$ 分出来，这样平均数之和就变成了 $\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}+b>\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n+b}{n+1}$

目的明确，确定分为 $k$ 组。因此我们就可以使用数组 $dp[n+1][k+1]$ （其中 $n$ 是数组中元素的个数），其中 $dp[i][j]$ 代表将原始数组中的前 $i$ 个元素分为 $j$ 组的最大“平均数之和”

我们预处理求出一个前缀和数组 $prefix[n+1]$ ，其中 $prefix[i]$ 代表数组中前 $i$ 个元素的和

当 $j=1$ 时， $dp[i][j] = dp[i][1] = prefix[i] / i$ （前 $i$ 个元素的平均数）
否则，我们在 $[j-1, i-1]$ 中挑选一个 $l$ ，将 $[0, i]$ 分为 $[0, l-1]$ 和 $[l,i-1]$ 两部分，因此 $dp[i][j]=\max_{l\geq j-1}\{dp[l][j-1]+\frac{\sum_{r=l}^{i-1}nums[r]}{i-l}\}$

最终 $dp[n][k]$ 即为答案

时间复杂度 $O(n^2\times k)$
空间复杂度 $O(n\times k)$

AC代码

C++

class Solution {
public:
    double largestSumOfAverages(vector<int>& nums, int k) {
        int n = nums.size();
        vector<double> prefix(n + 1);
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            prefix[i] = prefix[i - 1] + nums[i - 1];
        }
        vector<vector<double>> dp(n + 1, vector<double>(k + 1));
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            dp[i][1] = prefix[i] / i;
        }
        for (int j = 2; j <= k; j++) {
            for (int i = j; i <= n; i++) {
                for (int l = j - 1; l < i; l++) {
                    dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[l][j - 1] + (prefix[i] - prefix[l]) / (i - l));
                }
            }
        }
        return dp[n][k];
    }
};

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LeetCode 0813. 最大平均值和的分组

【LetMeFly】813.最大平均值和的分组

方法一：DP + 前缀和

AC代码

C++