如何用Matlab解线性方程

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使用Matlab解决线性方程

在数学中，形式为Ax=b 的方程是线性代数方程。在这种方程中，A 是一个矩阵，而x 和b 是列向量。矩阵是一个二维的数字排列。

这种方程在工程和科学学科中很常见。因此，理解这些方程的设置并找到问题的解决方案是一项基本技能。

Matlab给出了一个强大而可靠的方法来寻找这些问题的解决方案。但是，我们也会意识到，所提供的解决方案并不总是表面上的那样。

在这篇文章中，我们将学习如何使用Matlab来解决这些问题。它是一个矩阵实验室，因此是解决矩阵问题的最佳环境。

前提条件

要跟上本教程，你需要。

  • 安装了[MATLAB]。
  • 对[MATLAB]基础知识的正确理解。
  • 对矩阵的基本了解。

解决同位素方程

我们将看看如何用MATLAB解决同位素方程。同位素方程是有限的方程组，对于这些方程组有共同的解。

我们的意思是，它们是通过相等数量的方程定义两个未知数之间的关系的条件。

我们将使用矩阵法。矩阵是一个二维的数字排列。比如说。

sample matrix

定义矩阵的维度是m x n ，其中m 是行的数量，而n 是列的数量。一行是水平排列，而一列是数字的垂直排列。

如果我们有一个3x2的矩阵，那么这意味着它有3行和2列。这些矩阵被紧凑地用于处理线性方程。矩阵的不同形式是。

  • 行向量是具有单行的矩阵。
  • 列向量是具有单列的矩阵。
  • 方形矩阵是指m=n ，即列数等于行数的矩阵。线性方程的基本形式是。

lineq

其中A_ij 是MxN 矩阵的元素，X_j 是Nx1矩阵列向量的元素，b_i 是Mx1 行向量的元素。例如，给定一个如下所示的同时性方程。

sample simultaneous equation

这个方程的简化是。

simplified

要想用矩阵法解决这些同时进行的方程，第二个矩阵的m 必须等于第一个矩阵的n ，经过上面的简化。这是因为使用Matlab解决同调方程涉及到矩阵的乘法。

这些方程是同时存在的，因为一组x_i 必须满足M 的所有方程。假设你有A 和x 的值，可以找到b ，那么这个方程就很容易解决。你应用矩阵乘法。最大的问题是在给定的A 和b 中找到x ；关注此类问题，我们将看到如何处理这些问题。

Matlab的解决方案

你在Matlab中用于解决这些方程的基本操作取决于所提供的变量。当。

  • A 和 ，解决方案是 。 的 必须等于 的 ，这个操作才有效。x b = A*x A n x m
  • A 和 ，解决方案是 。这里， 的 必须等于 的 。 示例。b A/b A m b m

simultaneous equation

下面是第一个矩阵，A 。

first matrix

下面是第二个矩阵b 。

second matrix

现在你有了A 和b ，我们应该找到x 。

当你有A 和b ，我们就用x =A\b 。所以要完成这个任务，在命令窗口中执行以下命令。

A = [4 5; 3 -2];
b = [6; 14];
x = A\b

我们已经将我们的矩阵分配给了变量A 和b ，然后给出了用于解决问题的公式。在Matlab中，行与行之间是用分号分隔的。当你执行该命令时，结果显示如下。

x =

    3.5652
   -1.6522

Matlab提供了一个线性代数的解决方案。但是，在某些时候，它并没有产生解决方案，或者提供的解决方案不太值得信任。所以，Matlab会在某些时候给用户一个警告，但这发生在极少数情况下。

现在，这里的错误可能不是由于语法不完善或Matlab的错误，但可能是由于用户没有理解线性代数。但是不要担心。我在这里向你展示此类问题的原因以及Matlab给出的输出的意义。

我们之前解决的问题有两个未知数，x 和y ，由于有两个未知数，所以输出的长度为2（列向量）。有各种类型的同调方程。

  • 不一致的方程。
  • 未确定的方程。
  • 过度确定的方程。

不一致方程

不一致方程是指m=n （行数等于列数）的方程，但解不存在。在这些类型的方程中，左边是相等的，但右边却不相等，例如

inconsistent equation

我们的意思是，对于左边的方程式1和2，我们有4x+y ，而对于右边的方程式1和2，我们分别有6和14。这说明方程是不一致的。

求解同时性就是找到两个方程在绘制时的交点。当你绘制这两个方程时，线是平行的。

让我们做一个图来直观地了解我们在上面的陈述中所说的内容。由于我们要将x 与y 绘制成图，我们首先将y 作为每个方程的主语，然后再绘制。如下图所示。

inconsistent equation

为了绘制，我们先给出x 的变量

x = [-10:10];        % x ranges from -10 to 10
y1 = (6 -4*x)/5;     %y variables
y2 = (14 -4*x)/5;
plot(x, y1, x, y2)   %plotting the two equations
legend('y1', 'y2')   %Adding legends to the plot

output

这两条线是平行的。这意味着这两条线在无限远处相交。因此，当你试图用Matlab得到这个问题的解决方案时，给未知数的输出是inf ，这意味着无穷大。

x =

  -Inf
   Inf

未确定的方程

这些是方程，其中m>n 。这意味着所提供的信息不足以给出问题的解决方案，例如。

4x + 5y =6

在数学上，解决方案是y = (6-4x)/5 。这意味着x 的值可以从-inf 到inf ，只要它与提供的y 。如果用Matlab来解决这样的方程，它将只给出一个值，另一个值设置为0。

A = [4 5];
b = 6;
x = A\b

输出结果将是。

x =

         0
    1.2000

信息不充分不仅发生在m=n ，而且也可能发生在m>n 的问题上。这可能是由于其他方程的冗余造成的。例如

underdertermined equations

在上述方程中，由于方程(i)和(ii)可以由方程(i)生成，所以信息是不充分的。如果你把方程(i)乘以2，我们就得到方程(ii)。如果你也拿方程（一）除以-2，我们得到方程（三）。

过度确定的方程

这类方程主要发生在m>n 。

在这里，方程所提供的信息太多。方程Ax=b ，不能同时满足向量的任何值x 。

当你用Matlab解决这个方程时，它会给出一个输出，但它并不满足矩阵规则a*x=b 。为了理解这一点，我们先把下面的方程画出来。

overdetermined equation

对于第一个方程，y1 = -(4x - 6)/5 ，将y2 和y1 与x 绘制成图。

x = [-10;10];
y1 = (-4*x + 6)/5;
y2 = (3*x -14)/2;
plot(x, y1, x, y2);
grid on
xlabel('x');
ylabel('y');
legend('y1', 'y2')

output two

我们将使用intersect function ，找到直线相交的点。相交函数使用梯度和常数作为输入，如下所示。

function [x0, y0] = intersectPoints(m1,m2,b1,b2) %m is the gradient while b is the constant. 
x0 = (b2-b1)/(m1-m2); %find the x point
y0 = m1*x0+b1;
end

在命令窗口中调用这个函数。

intersectPoints(-4/5, 3/2, 6/5, -14/2)

输出将是。

ans =

    3.5652

这个函数给出一个对应于交点的x 值的单一输出。要找到y ，你可以在方程中替换x ，得到你的y 。

从图中可以看出，该解与我们之前找到的(3.5652,-1.6522)相似。这说明解法是正确的。现在假设我们有下面这个方程。

overdetermined equations

让我们来绘制三个方程的直线。要做到这一点，我们要添加下面的代码。

y3 = 7*x - 25;
hold on
plot(x, y1, x,y2, x, y3)

output

当你执行上述命令时，我们会得到第三条线（绿色线），这是第三条方程的线。

观察这些图，你可能认为这三条线相交于一个共同点，但事实并非如此。要看到这一点，可以通过点击放大镜图标（里面有+ ）来放大图。

点击后，移动到这些线似乎相交的点上几次，结果会是。

output

这表明，这些问题没有完美的解决方案。让我们试着用matlab来解决它，并绘制这个输出，看看matlab给出的位置作为输出。这可以通过下面的代码来完成。

A = [4 5; 3 -2; 7 -1];
b = [6; 14;25];
x = A\b;
hold on
plot(x(1),x(2),'k*')
plot(x(1),x(2),'r*')

output

正如你所看到的，Matlab正试图找到一个接近所有三条线的点，而这是一个近似值。你可以通过以下方式找到解决方案的误差。

error = A*x -b

Matlab通过寻找输入矢量元素平方之和的平方根来定位这个最接近的点。定位这个点是通过使用norm 函数。

norm(error)

其输出为0.7941 ，称为optimum solution in the least square sense 。它是norm(error) 尽可能小的那个点。如果我们尝试其他点，我们会得到norm(error) ，高于0.7941 。

结论

在Matlab中解决同调方程取决于你所处理的问题的类型。

作为一个用户，你应该知道你所要解决的方程或问题的类型。此外，这将有助于你知道你期望从Matlab得到的输出。你必须知道的是，Matlab将为所有这些问题提供一个解决方案。另外，知道方程的类型有助于你避免线性方程的错误。

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