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数据结构 第一章 第三节
数据结构
三、算法分析
算法分析:占用计算资源的多少
算法分析目的是分析算法的时间和空间复杂度。
1.时间复杂度
时间复杂度:分析算法占用cpu时间的多少。
以上程序会执行6步，语句1会执行一次，程序2和3会执行n次，程序4和5会执行n次，语句6会执行1次。
因此这个算法的时间复杂度是所有语句执行次数累加，故为
T(n)=1+n+n+1=2n+2=O(n)
时间复杂度并不一定要精确的执行次数，因为我们无法精确的知道程序执行算法所花费的时间，只需要知道大概。当高阶越大，低阶和常数项对于结果的影响就越小，对于时间复杂度的低阶和常数项就可以忽略掉。
例如:当一个结果以n倍增长，到了一百万，那么对于常数项，比如100，400等，对整体的结果影响不大。
两种衡量时间复杂度的方法
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事前估算法:抛开硬件和软件相关的因素，只计算和算法本身相关的执行效率。
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事后统计法:编写算法对应程序，程序执行完所花费的时间。缺点是必须等待程序执行完才能得知结果，而且结果也是不准确的，因为程序的执行时间和计算机的运行速度，使用的编程语言等有关。
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不同的时间复杂度存在以下关系:
简化的算法时间复杂度分析
只分析基本操作(只分析最深层循环的原操作)，执行时间=基本操作 * 运算次数
例:下列的时间复杂度T(n)=O(n²)
只计算最深层循环里的语句3所花费的时间复杂度。
时间复杂度的求和、求积定理
求和:多个并列循环的时间取其中最大的时间复杂度.
(T1(n)+T2(n)=O(MAX(f1(n),f2(n)));
求积:多个嵌套循环的时间则是相互之间的时间复杂度相乘.
(T1(n)*T2(n)=O(f1(n)*f2(n));
算法的最好、最坏、平均时间复杂度
最好时间复杂度:算法在最好情况下的时间复杂度。
最坏时间复杂度:算法在最坏情况下的时间复杂度。
平均时间复杂度:算法在平均情况下的时间复杂度。
例如:有一个有序的整型数组，现在要查找数值n所在位置，那么最好时间复杂度
就是数值n在数组的第一个位置，耗费的时间复杂度为O (1)。
而最坏的时间复杂度就是数值n在数组的最后一个位置。耗费的时间复杂度是O(n)。
平均时间复杂度则是数值n在数组的p=1/n的位置，那么时间复杂度则是(n-1)p+(n-2)p+(n-3)p+...+0=n(n+1)/2*1/n=O(n)。
2.算法的空间复杂度
空间复杂度:问题规模和空间大小相关的关系。
只需要关注问题规模与内存大小相关的变量。
例如:
以上问题规模和空间大小相关的变量是int i=1;因此当前算法的空间复杂度是S(n)=O(1);
以上问题规模和空间大小相关的变量是int i,int flag[n];flag变量的空间大小随着n的变化而变化，故当前算法的空间复杂度为S(n)=O(n);
递归型空间复杂度
递归型空间复杂度:递归型的空间复杂度是递归调用的深度。
以上问题规模和空间大小相关的变量为int a,b,c，空间大小都是固定的常量;当前算法递归n次，则递归深度为n，那么空间复杂度为O(n)。
以上问题规模和空间大小相关的变量为int flag[n];当前算法的递归深度为n为，空间复杂度为每一轮flag的空间大小，例如，当前递归深度为5，故flag的空间大小为1+2+3+4+5=O(1).
深度为n时，1+2+3+4+...+n=[n(n+1)]/2=1/2n²+1/2n=O(n²);
