差分（一维、二维）

本文已参与「新人创作礼」活动，一起开启掘金创作之路。

差分是前缀和的逆运算

一维差分

由B得到A，求B的前缀和，O(n)

差分作用：

如果暴力做就是O(n)，差分做就是O(1)

如果$b_l+c$，那么从$a_l$到$a_n$都会加上c，我们只是要[l,r]区间的a加上c，所以要$b_{r+1}-c$ 原本要循环所有a，O(n)，现在只要改B的两个元素就可以，O(1)

实际b不需要构造，假设A全是0，那么B也全是0，但A不全是0，不过只要对A进行n次插入操作，那么B的前缀和就是原本的A，b1=[1,1]区间+a1，b2=[2,2]区间+a2......

题

输入一个长度为n的整数序列。
接下来输入m个操作，每个操作包含三个整数l，r，c，表示将序列中[, r]之间的每个数加上c.
请你输出进行完所有操作后的序列。

输入格式

第一行包含两个整数n和m。
第二行包含n个整数，表示整数序列。
接下来m行，每行包含三个整数l，r，c，表示一个操作。

输出格式

共一行，包含n个整数，表示最终序列。

数据范围

$1 ≤n,m ≤100000,$
$1≤l≤r≤n,$ $-1000<c≤1000,$ $-1000≤整数序列中元素的值≤1000$

输入样例：

6 3
1 2 2 1 2 1
1 3 1
3 5 1
1 6 1

输出样例：

3 4 5 3 4 2

#include <iostream>

const int N = 1e5 + 10;

int n, m;
int a[N], b[N];

void insert(int l, int r, int c)
{
    b[l] += c;
    b[r + 1] -= c;
}

int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &m);
    
    for(int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", &a[i]);
    
    for(int i = 1; i <= n; i++) insert(i, i, a[i]);
    
    int l, r, c;
    while(m--)
    {
        scanf("%d%d%d", &l, &r, &c);
        insert(l, r, c);
    }
    
    for(int i = 1; i <= n; i++) b[i] += b[i - 1];
    
    for(int i = 1; i <= n; i++) printf("%d ", b[i]);
    
    return 0;
}

二维差分

同样不需要考虑如何构造，差分都不需要，都可以假设初试A = 0，所以B = 0，然后进行插入，即可构造出B（A的差分矩阵）。

输入一个n行m列的整数矩阵，再输入q个操作，每个操作包含五个整数x1, y1,x2, y2,c，其中(x1,y1)和(x2, y2)表示一个子矩阵的左上角坐标和右下角坐标。
每个操作都要将选中的子矩阵中的每个元素的值加上c。请你将进行完所有操作后的矩阵输出。

输入格式

第一行包含整数n,m,q。
接下来n行，每行包含m个整数，表示整数矩阵。
接下来q行，每行包含5个整数x1,y1,x2.y2,c。表示一个操作。

输出格式

共n行，每行m个整数。表示所有操作进行完毕后的最终矩阵。

数据范围

$1≤n, m ≤1000,$
$1≤q≤ 100000,$
$1≤x1 ≤ x2≤n,$
$1≤y1≤y2≤m,$
$-1000 ≤c≤1000,$
$—1000≤矩阵内元素的值≤1000$

输入样例:

3 4 3
1 2 2 1
3 2 2 1
1 1 1 1
1 1 2 2 1
1 3 2 3 2
3 1 3 4 1

输出样例：

2 3 4 1
4 3 4 1
2 2 2 2

#include <iostream>

const int N = 1010;

int n, m, q;
int a[N][N], b[N][N];

void insert(int x1, int y1, int x2, int y2, int c)
{
    b[x1][y1] += c;
    b[x2 + 1][y1] -= c;
    b[x1][y2 + 1] -= c;
    b[x2 + 1][y2 + 1] += c;
    
}

int main()
{
    scanf("%d%d%d", &n, &m, &q);
    
    for(int i = 1; i <= n; i++) 
        for(int j = 1; j <= m; j++)
            scanf("%d", &a[i][j]);
    
    for(int i = 1; i <= n; i++) 
        for(int j = 1; j <= m; j++)
            insert(i, j, i, j, a[i][j]);
    
    int x1, y1, x2, y2, c;
    while(q--)
    {
        scanf("%d%d%d%d%d", &x1, &y1, &x2, &y2, &c);
        insert(x1, y1, x2, y2, c);
    }
    
    for(int i = 1; i <= n; i++) 
        for(int j = 1; j <= m; j++)
            b[i][j] += b[i - 1][j] + b[i][j - 1] - b[i - 1][j - 1];
    
    for(int i = 1; i <= n; i++)
    {
        for(int j = 1; j <= m; j++) printf("%d ", b[i][j]);
        puts("");
    }
    return 0;
}